Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122555 / 27465
↖ ↑ ↗
← N 71.683526°
E156.607361°		 ← 95.98 m → N 71.683526°
E156.610108°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
N 71.682663°
E156.607361°		 ← 95.99 m →
9 216 m²		 N 71.682663°
E156.610108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935024261474609 y=0.209545135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935024261474609 × 217)
    floor (0.935024261474609 × 131072)
    floor (122555.5)     		tx = 122555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209545135498047 × 217)
    floor (0.209545135498047 × 131072)
    floor (27465.5)     		ty = 27465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122555 / 27465 ti = "17/122555/27465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122555/27465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122555 ÷ 217
    122555 ÷ 131072     		x = 0.935020446777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27465 ÷ 217
    27465 ÷ 131072     		y = 0.209541320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935020446777344 × 2 - 1) × π
    0.870040893554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.73331408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209541320800781 × 2 - 1) × π
    0.580917358398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.82500570543516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73331408} λ = 2.73331408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82500570543516))-π/2
    2×atan(6.2028304088506)-π/2
    2×1.41095493664977-π/2
    2.82190987329954-1.57079632675     		φ = 1.25111355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73331408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.607361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25111355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.683526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122555 KachelY 27465 2.73331408 1.25111355 156.607361 71.683526
    Oben rechts KachelX + 1 122556 KachelY 27465 2.73336202 1.25111355 156.610108 71.683526
    Unten links KachelX 122555 KachelY + 1 27466 2.73331408 1.25109848 156.607361 71.682663
    Unten rechts KachelX + 1 122556 KachelY + 1 27466 2.73336202 1.25109848 156.610108 71.682663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25111355-1.25109848) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dl = 96.0109699993303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25111355-1.25109848) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dr = 96.0109699993303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73331408-2.73336202) × cos(1.25111355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314265425291942 × 6371000     		do = 95.9847500761431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73331408-2.73336202) × cos(1.25109848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314279731737088 × 6371000     		du = 95.9891196327388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25111355)-sin(1.25109848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314265425291942-0.314279731737088)×R²
    abs(2.73336202-2.73331408)×1.43064451467723e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43064451467723e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43064451467723e-05×40589641000000     		ar = 9215.79872266479m²