Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122554 / 28149
↖ ↑ ↗
← N 71.083853°
E156.604614°		 ← 99.01 m → N 71.083853°
E156.607361°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
N 71.082963°
E156.604614°		 ← 99.02 m →
9 803 m²		 N 71.082963°
E156.607361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935016632080078 y=0.214763641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935016632080078 × 217)
    floor (0.935016632080078 × 131072)
    floor (122554.5)     		tx = 122554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214763641357422 × 217)
    floor (0.214763641357422 × 131072)
    floor (28149.5)     		ty = 28149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122554 / 28149 ti = "17/122554/28149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122554/28149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122554 ÷ 217
    122554 ÷ 131072     		x = 0.935012817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28149 ÷ 217
    28149 ÷ 131072     		y = 0.214759826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935012817382812 × 2 - 1) × π
    0.870025634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73326614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214759826660156 × 2 - 1) × π
    0.570480346679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.79221686609504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73326614} λ = 2.73326614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79221686609504))-π/2
    2×atan(6.00274500893329)-π/2
    2×1.40572180580103-π/2
    2.81144361160205-1.57079632675     		φ = 1.24064728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73326614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.604614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24064728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.083853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122554 KachelY 28149 2.73326614 1.24064728 156.604614 71.083853
    Oben rechts KachelX + 1 122555 KachelY 28149 2.73331408 1.24064728 156.607361 71.083853
    Unten links KachelX 122554 KachelY + 1 28150 2.73326614 1.24063174 156.604614 71.082963
    Unten rechts KachelX + 1 122555 KachelY + 1 28150 2.73331408 1.24063174 156.607361 71.082963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24064728-1.24063174) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dl = 99.0053399995225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24064728-1.24063174) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dr = 99.0053399995225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73326614-2.73331408) × cos(1.24064728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324184029374186 × 6371000     		do = 99.0141470677277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73326614-2.73331408) × cos(1.24063174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324198730082353 × 6371000     		du = 99.0186370423979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24064728)-sin(1.24063174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324184029374186-0.324198730082353)×R²
    abs(2.73331408-2.73326614)×1.47007081663375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47007081663375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47007081663375e-05×40589641000000     		ar = 9803.15156113059m²