Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122554 / 27466
↖ ↑ ↗
← N 71.682663°
E156.604614°		 ← 95.99 m → N 71.682663°
E156.607361°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
N 71.681800°
E156.604614°		 ← 95.99 m →
9 210 m²		 N 71.681800°
E156.607361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935016632080078 y=0.209552764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935016632080078 × 217)
    floor (0.935016632080078 × 131072)
    floor (122554.5)     		tx = 122554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209552764892578 × 217)
    floor (0.209552764892578 × 131072)
    floor (27466.5)     		ty = 27466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122554 / 27466 ti = "17/122554/27466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122554/27466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122554 ÷ 217
    122554 ÷ 131072     		x = 0.935012817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27466 ÷ 217
    27466 ÷ 131072     		y = 0.209548950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935012817382812 × 2 - 1) × π
    0.870025634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73326614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209548950195312 × 2 - 1) × π
    0.580902099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82495776853554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73326614} λ = 2.73326614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82495776853554))-π/2
    2×atan(6.2025330715187)-π/2
    2×1.41094740402322-π/2
    2.82189480804645-1.57079632675     		φ = 1.25109848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73326614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.604614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25109848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.682663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122554 KachelY 27466 2.73326614 1.25109848 156.604614 71.682663
    Oben rechts KachelX + 1 122555 KachelY 27466 2.73331408 1.25109848 156.607361 71.682663
    Unten links KachelX 122554 KachelY + 1 27467 2.73326614 1.25108342 156.604614 71.681800
    Unten rechts KachelX + 1 122555 KachelY + 1 27467 2.73331408 1.25108342 156.607361 71.681800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25109848-1.25108342) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25109848-1.25108342) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73326614-2.73331408) × cos(1.25109848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314279731737088 × 6371000     		do = 95.9891196327388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73326614-2.73331408) × cos(1.25108342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314294028617604 × 6371000     		du = 95.9934862680499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25109848)-sin(1.25108342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314279731737088-0.314294028617604)×R²
    abs(2.73331408-2.73326614)×1.42968805155186e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42968805155186e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42968805155186e-05×40589641000000     		ar = 9210.10250217983m²