Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122549 / 27475
↖ ↑ ↗
← N 71.674892°
E156.590881°		 ← 96.01 m → N 71.674892°
E156.593628°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
N 71.674029°
E156.590881°		 ← 96.01 m →
9 218 m²		 N 71.674029°
E156.593628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934978485107422 y=0.209621429443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934978485107422 × 217)
    floor (0.934978485107422 × 131072)
    floor (122549.5)     		tx = 122549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209621429443359 × 217)
    floor (0.209621429443359 × 131072)
    floor (27475.5)     		ty = 27475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122549 / 27475 ti = "17/122549/27475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122549/27475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122549 ÷ 217
    122549 ÷ 131072     		x = 0.934974670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27475 ÷ 217
    27475 ÷ 131072     		y = 0.209617614746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934974670410156 × 2 - 1) × π
    0.869949340820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.73302646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209617614746094 × 2 - 1) × π
    0.580764770507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.82452633643896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73302646} λ = 2.73302646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82452633643896))-π/2
    2×atan(6.19985767683861)-π/2
    2×1.41087959495651-π/2
    2.82175918991302-1.57079632675     		φ = 1.25096286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73302646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.590881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25096286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.674892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122549 KachelY 27475 2.73302646 1.25096286 156.590881 71.674892
    Oben rechts KachelX + 1 122550 KachelY 27475 2.73307439 1.25096286 156.593628 71.674892
    Unten links KachelX 122549 KachelY + 1 27476 2.73302646 1.25094779 156.590881 71.674029
    Unten rechts KachelX + 1 122550 KachelY + 1 27476 2.73307439 1.25094779 156.593628 71.674029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25096286-1.25094779) × R
    1.50700000001169e-05 × 6371000     		dl = 96.010970000745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25096286-1.25094779) × R
    1.50700000001169e-05 × 6371000     		dr = 96.010970000745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73302646-2.73307439) × cos(1.25096286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.314408477038292 × 6371000     		do = 96.0084107976799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73302646-2.73307439) × cos(1.25094779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.314422782769595 × 6371000     		du = 96.0127792248314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25096286)-sin(1.25094779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314408477038292-0.314422782769595)×R²
    abs(2.73307439-2.73302646)×1.430573130351e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.430573130351e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.430573130351e-05×40589641000000     		ar = 9218.07035748919m²