Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122541 / 27449
↖ ↑ ↗
← N 71.697332°
E156.568909°		 ← 95.91 m → N 71.697332°
E156.571655°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
N 71.696469°
E156.568909°		 ← 95.92 m →
9 203 m²		 N 71.696469°
E156.571655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934917449951172 y=0.209423065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934917449951172 × 217)
    floor (0.934917449951172 × 131072)
    floor (122541.5)     		tx = 122541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209423065185547 × 217)
    floor (0.209423065185547 × 131072)
    floor (27449.5)     		ty = 27449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122541 / 27449 ti = "17/122541/27449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122541/27449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122541 ÷ 217
    122541 ÷ 131072     		x = 0.934913635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27449 ÷ 217
    27449 ÷ 131072     		y = 0.209419250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934913635253906 × 2 - 1) × π
    0.869827270507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.73264296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209419250488281 × 2 - 1) × π
    0.581161499023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.82577269582908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73264296} λ = 2.73264296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82577269582908))-π/2
    2×atan(6.2075897451386)-π/2
    2×1.41107541206479-π/2
    2.82215082412957-1.57079632675     		φ = 1.25135450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73264296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.568909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25135450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.697332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122541 KachelY 27449 2.73264296 1.25135450 156.568909 71.697332
    Oben rechts KachelX + 1 122542 KachelY 27449 2.73269090 1.25135450 156.571655 71.697332
    Unten links KachelX 122541 KachelY + 1 27450 2.73264296 1.25133944 156.568909 71.696469
    Unten rechts KachelX + 1 122542 KachelY + 1 27450 2.73269090 1.25133944 156.571655 71.696469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25135450-1.25133944) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25135450-1.25133944) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73264296-2.73269090) × cos(1.25135450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314036673865164 × 6371000     		do = 95.9148835023436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73264296-2.73269090) × cos(1.25133944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314050971956995 × 6371000     		du = 95.9192505076216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25135450)-sin(1.25133944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314036673865164-0.314050971956995)×R²
    abs(2.73269090-2.73264296)×1.42980918306779e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42980918306779e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42980918306779e-05×40589641000000     		ar = 9202.97976647873m²