Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122538 / 27452
↖ ↑ ↗
← N 71.694743°
E156.560669°		 ← 95.93 m → N 71.694743°
E156.563416°		 →
↑
95.88 m
↓
↑
95.88 m
↓
N 71.693881°
E156.560669°		 ← 95.93 m →
9 198 m²		 N 71.693881°
E156.563416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934894561767578 y=0.209445953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934894561767578 × 217)
    floor (0.934894561767578 × 131072)
    floor (122538.5)     		tx = 122538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209445953369141 × 217)
    floor (0.209445953369141 × 131072)
    floor (27452.5)     		ty = 27452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122538 / 27452 ti = "17/122538/27452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122538/27452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122538 ÷ 217
    122538 ÷ 131072     		x = 0.934890747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27452 ÷ 217
    27452 ÷ 131072     		y = 0.209442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934890747070312 × 2 - 1) × π
    0.869781494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73249915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209442138671875 × 2 - 1) × π
    0.58111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82562888513022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73249915} λ = 2.73249915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82562888513022))-π/2
    2×atan(6.20669709150722)-π/2
    2×1.41105282960623-π/2
    2.82210565921245-1.57079632675     		φ = 1.25130933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73249915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.560669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25130933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.694743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122538 KachelY 27452 2.73249915 1.25130933 156.560669 71.694743
    Oben rechts KachelX + 1 122539 KachelY 27452 2.73254709 1.25130933 156.563416 71.694743
    Unten links KachelX 122538 KachelY + 1 27453 2.73249915 1.25129428 156.560669 71.693881
    Unten rechts KachelX + 1 122539 KachelY + 1 27453 2.73254709 1.25129428 156.563416 71.693881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25130933-1.25129428) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dl = 95.8835500001047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25130933-1.25129428) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dr = 95.8835500001047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73249915-2.73254709) × cos(1.25130933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314079558433003 × 6371000     		do = 95.9279815532103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73249915-2.73254709) × cos(1.25129428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314093846817268 × 6371000     		du = 95.9323455935479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25130933)-sin(1.25129428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314079558433003-0.314093846817268)×R²
    abs(2.73254709-2.73249915)×1.42883842652597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42883842652597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42883842652597e-05×40589641000000     		ar = 9198.12463574944m²