Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122537 / 27421
↖ ↑ ↗
← N 71.721467°
E156.557923°		 ← 95.77 m → N 71.721467°
E156.560669°		 →
↑
95.82 m
↓
↑
95.82 m
↓
N 71.720605°
E156.557923°		 ← 95.78 m →
9 177 m²		 N 71.720605°
E156.560669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934886932373047 y=0.209209442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934886932373047 × 217)
    floor (0.934886932373047 × 131072)
    floor (122537.5)     		tx = 122537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209209442138672 × 217)
    floor (0.209209442138672 × 131072)
    floor (27421.5)     		ty = 27421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122537 / 27421 ti = "17/122537/27421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122537/27421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122537 ÷ 217
    122537 ÷ 131072     		x = 0.934883117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27421 ÷ 217
    27421 ÷ 131072     		y = 0.209205627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934883117675781 × 2 - 1) × π
    0.869766235351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.73245122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209205627441406 × 2 - 1) × π
    0.581588745117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.82711492901844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73245122} λ = 2.73245122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82711492901844))-π/2
    2×atan(6.21592737238872)-π/2
    2×1.41128603305451-π/2
    2.82257206610903-1.57079632675     		φ = 1.25177574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73245122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.557923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25177574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.721467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122537 KachelY 27421 2.73245122 1.25177574 156.557923 71.721467
    Oben rechts KachelX + 1 122538 KachelY 27421 2.73249915 1.25177574 156.560669 71.721467
    Unten links KachelX 122537 KachelY + 1 27422 2.73245122 1.25176070 156.557923 71.720605
    Unten rechts KachelX + 1 122538 KachelY + 1 27422 2.73249915 1.25176070 156.560669 71.720605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25177574-1.25176070) × R
    1.50400000000772e-05 × 6371000     		dl = 95.8198400004919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25177574-1.25176070) × R
    1.50400000000772e-05 × 6371000     		dr = 95.8198400004919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73245122-2.73249915) × cos(1.25177574) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.313636716187521 × 6371000     		do = 95.7727443376138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73245122-2.73249915) × cos(1.25176070) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.313650997279571 × 6371000     		du = 95.7771052408728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25177574)-sin(1.25176070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313636716187521-0.313650997279571)×R²
    abs(2.73249915-2.73245122)×1.42810920500946e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42810920500946e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42810920500946e-05×40589641000000     		ar = 9177.13796956091m²