Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122532 / 26988
↖ ↑ ↗
← N 72.090811°
E156.544189°		 ← 93.92 m → N 72.090811°
E156.546936°		 →
↑
93.97 m
↓
↑
93.97 m
↓
N 72.089966°
E156.544189°		 ← 93.93 m →
8 826 m²		 N 72.089966°
E156.546936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934848785400391 y=0.205905914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934848785400391 × 217)
    floor (0.934848785400391 × 131072)
    floor (122532.5)     		tx = 122532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205905914306641 × 217)
    floor (0.205905914306641 × 131072)
    floor (26988.5)     		ty = 26988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122532 / 26988 ti = "17/122532/26988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122532/26988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122532 ÷ 217
    122532 ÷ 131072     		x = 0.934844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26988 ÷ 217
    26988 ÷ 131072     		y = 0.205902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934844970703125 × 2 - 1) × π
    0.86968994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73221153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205902099609375 × 2 - 1) × π
    0.58819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84787160655392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73221153} λ = 2.73221153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84787160655392))-π/2
    2×atan(6.34629771937493)-π/2
    2×1.41450917116662-π/2
    2.82901834233323-1.57079632675     		φ = 1.25822202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73221153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.544189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25822202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.090811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122532 KachelY 26988 2.73221153 1.25822202 156.544189 72.090811
    Oben rechts KachelX + 1 122533 KachelY 26988 2.73225947 1.25822202 156.546936 72.090811
    Unten links KachelX 122532 KachelY + 1 26989 2.73221153 1.25820727 156.544189 72.089966
    Unten rechts KachelX + 1 122533 KachelY + 1 26989 2.73225947 1.25820727 156.546936 72.089966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25822202-1.25820727) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dl = 93.9722500004034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25822202-1.25820727) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dr = 93.9722500004034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73221153-2.73225947) × cos(1.25822202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307509221695901 × 6371000     		do = 93.9212315932329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73221153-2.73225947) × cos(1.25820727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307523256952684 × 6371000     		du = 93.925518321922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25822202)-sin(1.25820727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307509221695901-0.307523256952684)×R²
    abs(2.73225947-2.73221153)×1.40352567828961e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40352567828961e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40352567828961e-05×40589641000000     		ar = 8826.19087267648m²