Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122531 / 26979
↖ ↑ ↗
← N 72.098411°
E156.541443°		 ← 93.88 m → N 72.098411°
E156.544189°		 →
↑
93.91 m
↓
↑
93.91 m
↓
N 72.097567°
E156.541443°		 ← 93.89 m →
8 817 m²		 N 72.097567°
E156.544189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934841156005859 y=0.205837249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934841156005859 × 217)
    floor (0.934841156005859 × 131072)
    floor (122531.5)     		tx = 122531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205837249755859 × 217)
    floor (0.205837249755859 × 131072)
    floor (26979.5)     		ty = 26979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122531 / 26979 ti = "17/122531/26979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122531/26979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122531 ÷ 217
    122531 ÷ 131072     		x = 0.934837341308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26979 ÷ 217
    26979 ÷ 131072     		y = 0.205833435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934837341308594 × 2 - 1) × π
    0.869674682617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.73216359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205833435058594 × 2 - 1) × π
    0.588333129882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.84830303865051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73216359} λ = 2.73216359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84830303865051))-π/2
    2×atan(6.34903630662027)-π/2
    2×1.41457549222723-π/2
    2.82915098445445-1.57079632675     		φ = 1.25835466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73216359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.541443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25835466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.098411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122531 KachelY 26979 2.73216359 1.25835466 156.541443 72.098411
    Oben rechts KachelX + 1 122532 KachelY 26979 2.73221153 1.25835466 156.544189 72.098411
    Unten links KachelX 122531 KachelY + 1 26980 2.73216359 1.25833992 156.541443 72.097567
    Unten rechts KachelX + 1 122532 KachelY + 1 26980 2.73221153 1.25833992 156.544189 72.097567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25835466-1.25833992) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dl = 93.908539999376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25835466-1.25833992) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dr = 93.908539999376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73216359-2.73221153) × cos(1.25835466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307383006049059 × 6371000     		do = 93.8826820858967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73216359-2.73221153) × cos(1.25833992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307397032391542 × 6371000     		du = 93.8869660919291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25835466)-sin(1.25833992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307383006049059-0.307397032391542)×R²
    abs(2.73221153-2.73216359)×1.40263424828757e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40263424828757e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40263424828757e-05×40589641000000     		ar = 8816.58675834463m²