Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12253 / 20538
↖ ↑ ↗
← S 41.459195°
W 45.384522°		 ← 915.53 m → S 41.459195°
W 45.373535°		 →
↑
915.51 m
↓
↑
915.51 m
↓
S 41.467429°
W 45.384522°		 ← 915.41 m →
838 126 m²		 S 41.467429°
W 45.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373947143554688 y=0.626785278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373947143554688 × 215)
    floor (0.373947143554688 × 32768)
    floor (12253.5)     		tx = 12253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626785278320312 × 215)
    floor (0.626785278320312 × 32768)
    floor (20538.5)     		ty = 20538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12253 / 20538 ti = "15/12253/20538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12253/20538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12253 ÷ 215
    12253 ÷ 32768     		x = 0.373931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20538 ÷ 215
    20538 ÷ 32768     		y = 0.62677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373931884765625 × 2 - 1) × π
    -0.25213623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79210933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.2535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.796519524086853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79210933} λ = -0.79210933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796519524086853))-π/2
    2×atan(0.450895567435019)-π/2
    2×0.42359843110597-π/2
    0.84719686221194-1.57079632675     		φ = -0.72359946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79210933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.384522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72359946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.459195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12253 KachelY 20538 -0.79210933 -0.72359946 -45.384522 -41.459195
    Oben rechts KachelX + 1 12254 KachelY 20538 -0.79191758 -0.72359946 -45.373535 -41.459195
    Unten links KachelX 12253 KachelY + 1 20539 -0.79210933 -0.72374316 -45.384522 -41.467429
    Unten rechts KachelX + 1 12254 KachelY + 1 20539 -0.79191758 -0.72374316 -45.373535 -41.467429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72359946--0.72374316) × R
    0.00014370000000008 × 6371000     		dl = 915.512700000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72359946--0.72374316) × R
    0.00014370000000008 × 6371000     		dr = 915.512700000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79210933--0.79191758) × cos(-0.72359946) × R
    0.000191749999999935 × 0.74942743528012 × 6371000     		do = 915.529969964719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79210933--0.79191758) × cos(-0.72374316) × R
    0.000191749999999935 × 0.74933228571422 × 6371000     		du = 915.413731520395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72359946)-sin(-0.72374316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74942743528012-0.74933228571422)×R²
    abs(-0.79191758--0.79210933)×9.51495659001766e-05×R²
    0.000191749999999935×9.51495659001766e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.51495659001766e-05×40589641000000     		ar = 838126.107289507m²