Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122523 / 28134
↖ ↑ ↗
← N 71.097205°
E156.519470°		 ← 98.95 m → N 71.097205°
E156.522217°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
N 71.096315°
E156.519470°		 ← 98.95 m →
9 790 m²		 N 71.096315°
E156.522217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934780120849609 y=0.214649200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934780120849609 × 217)
    floor (0.934780120849609 × 131072)
    floor (122523.5)     		tx = 122523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214649200439453 × 217)
    floor (0.214649200439453 × 131072)
    floor (28134.5)     		ty = 28134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122523 / 28134 ti = "17/122523/28134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122523/28134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122523 ÷ 217
    122523 ÷ 131072     		x = 0.934776306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28134 ÷ 217
    28134 ÷ 131072     		y = 0.214645385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934776306152344 × 2 - 1) × π
    0.869552612304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.73178010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214645385742188 × 2 - 1) × π
    0.570709228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79293591958934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73178010} λ = 2.73178010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79293591958934))-π/2
    2×atan(6.0070628559028)-π/2
    2×1.40583831899608-π/2
    2.81167663799217-1.57079632675     		φ = 1.24088031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73178010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.519470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24088031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.097205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122523 KachelY 28134 2.73178010 1.24088031 156.519470 71.097205
    Oben rechts KachelX + 1 122524 KachelY 28134 2.73182804 1.24088031 156.522217 71.097205
    Unten links KachelX 122523 KachelY + 1 28135 2.73178010 1.24086478 156.519470 71.096315
    Unten rechts KachelX + 1 122524 KachelY + 1 28135 2.73182804 1.24086478 156.522217 71.096315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24088031-1.24086478) × R
    1.55300000002079e-05 × 6371000     		dl = 98.9416300013244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24088031-1.24086478) × R
    1.55300000002079e-05 × 6371000     		dr = 98.9416300013244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73178010-2.73182804) × cos(1.24088031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323963575584022 × 6371000     		do = 98.9468148057309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73178010-2.73182804) × cos(1.24086478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323978268005134 × 6371000     		du = 98.9513022493215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24088031)-sin(1.24086478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323963575584022-0.323978268005134)×R²
    abs(2.73182804-2.73178010)×1.46924211119615e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46924211119615e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46924211119615e-05×40589641000000     		ar = 9790.18113806308m²