Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122513 / 27984
↖ ↑ ↗
← N 71.230221°
E156.492004°		 ← 98.28 m → N 71.230221°
E156.494751°		 →
↑
98.30 m
↓
↑
98.30 m
↓
N 71.229337°
E156.492004°		 ← 98.28 m →
9 661 m²		 N 71.229337°
E156.494751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934703826904297 y=0.213504791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934703826904297 × 217)
    floor (0.934703826904297 × 131072)
    floor (122513.5)     		tx = 122513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213504791259766 × 217)
    floor (0.213504791259766 × 131072)
    floor (27984.5)     		ty = 27984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122513 / 27984 ti = "17/122513/27984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122513/27984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122513 ÷ 217
    122513 ÷ 131072     		x = 0.934700012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27984 ÷ 217
    27984 ÷ 131072     		y = 0.2135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934700012207031 × 2 - 1) × π
    0.869400024414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.73130073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2135009765625 × 2 - 1) × π
    0.572998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80012645453235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73130073} λ = 2.73130073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80012645453235))-π/2
    2×atan(6.05041251812517)-π/2
    2×1.40699910092033-π/2
    2.81399820184065-1.57079632675     		φ = 1.24320188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73130073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.492004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24320188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.230221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122513 KachelY 27984 2.73130073 1.24320188 156.492004 71.230221
    Oben rechts KachelX + 1 122514 KachelY 27984 2.73134867 1.24320188 156.494751 71.230221
    Unten links KachelX 122513 KachelY + 1 27985 2.73130073 1.24318645 156.492004 71.229337
    Unten rechts KachelX + 1 122514 KachelY + 1 27985 2.73134867 1.24318645 156.494751 71.229337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24320188-1.24318645) × R
    1.54299999999274e-05 × 6371000     		dl = 98.3045299995378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24320188-1.24318645) × R
    1.54299999999274e-05 × 6371000     		dr = 98.3045299995378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73130073-2.73134867) × cos(1.24320188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321766337830865 × 6371000     		do = 98.2757218390174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73130073-2.73134867) × cos(1.24318645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321780947211401 × 6371000     		du = 98.2801839198787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24320188)-sin(1.24318645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321766337830865-0.321780947211401)×R²
    abs(2.73134867-2.73130073)×1.46093805365455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46093805365455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46093805365455e-05×40589641000000     		ar = 9661.16796732478m²