Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12251 / 20623
↖ ↑ ↗
← S 42.155259°
W 45.406494°		 ← 905.59 m → S 42.155259°
W 45.395508°		 →
↑
905.57 m
↓
↑
905.57 m
↓
S 42.163403°
W 45.406494°		 ← 905.47 m →
820 025 m²		 S 42.163403°
W 45.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373886108398438 y=0.629379272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373886108398438 × 215)
    floor (0.373886108398438 × 32768)
    floor (12251.5)     		tx = 12251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629379272460938 × 215)
    floor (0.629379272460938 × 32768)
    floor (20623.5)     		ty = 20623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12251 / 20623 ti = "15/12251/20623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12251/20623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12251 ÷ 215
    12251 ÷ 32768     		x = 0.373870849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20623 ÷ 215
    20623 ÷ 32768     		y = 0.629364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373870849609375 × 2 - 1) × π
    -0.25225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79249282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.25872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.812818069957672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79249282} λ = -0.79249282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812818069957672))-π/2
    2×atan(0.44360618983719)-π/2
    2×0.417524126050888-π/2
    0.835048252101777-1.57079632675     		φ = -0.73574807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79249282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.406494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73574807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.155259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12251 KachelY 20623 -0.79249282 -0.73574807 -45.406494 -42.155259
    Oben rechts KachelX + 1 12252 KachelY 20623 -0.79230108 -0.73574807 -45.395508 -42.155259
    Unten links KachelX 12251 KachelY + 1 20624 -0.79249282 -0.73589021 -45.406494 -42.163403
    Unten rechts KachelX + 1 12252 KachelY + 1 20624 -0.79230108 -0.73589021 -45.395508 -42.163403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73574807--0.73589021) × R
    0.000142140000000013 × 6371000     		dl = 905.573940000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73574807--0.73589021) × R
    0.000142140000000013 × 6371000     		dr = 905.573940000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79249282--0.79230108) × cos(-0.73574807) × R
    0.000191739999999996 × 0.741328899748126 × 6371000     		do = 905.589251027404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79249282--0.79230108) × cos(-0.73589021) × R
    0.000191739999999996 × 0.741233496148639 × 6371000     		du = 905.472708323842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73574807)-sin(-0.73589021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741328899748126-0.741233496148639)×R²
    abs(-0.79230108--0.79249282)×9.54035994873426e-05×R²
    0.000191739999999996×9.54035994873426e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.54035994873426e-05×40589641000000     		ar = 820025.25843772m²