Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12251 / 20621
↖ ↑ ↗
← S 42.138968°
W 45.406494°		 ← 905.82 m → S 42.138968°
W 45.395508°		 →
↑
905.83 m
↓
↑
905.83 m
↓
S 42.147115°
W 45.406494°		 ← 905.71 m →
820 467 m²		 S 42.147115°
W 45.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373886108398438 y=0.629318237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373886108398438 × 215)
    floor (0.373886108398438 × 32768)
    floor (12251.5)     		tx = 12251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629318237304688 × 215)
    floor (0.629318237304688 × 32768)
    floor (20621.5)     		ty = 20621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12251 / 20621 ti = "15/12251/20621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12251/20621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12251 ÷ 215
    12251 ÷ 32768     		x = 0.373870849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20621 ÷ 215
    20621 ÷ 32768     		y = 0.629302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373870849609375 × 2 - 1) × π
    -0.25225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79249282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629302978515625 × 2 - 1) × π
    -0.25860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.812434574760712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79249282} λ = -0.79249282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812434574760712))-π/2
    2×atan(0.443776343304768)-π/2
    2×0.417666292379158-π/2
    0.835332584758317-1.57079632675     		φ = -0.73546374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79249282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.406494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73546374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.138968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12251 KachelY 20621 -0.79249282 -0.73546374 -45.406494 -42.138968
    Oben rechts KachelX + 1 12252 KachelY 20621 -0.79230108 -0.73546374 -45.395508 -42.138968
    Unten links KachelX 12251 KachelY + 1 20622 -0.79249282 -0.73560592 -45.406494 -42.147115
    Unten rechts KachelX + 1 12252 KachelY + 1 20622 -0.79230108 -0.73560592 -45.395508 -42.147115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73546374--0.73560592) × R
    0.000142179999999992 × 6371000     		dl = 905.828779999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73546374--0.73560592) × R
    0.000142179999999992 × 6371000     		dr = 905.828779999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79249282--0.79230108) × cos(-0.73546374) × R
    0.000191739999999996 × 0.741519695558793 × 6371000     		do = 905.822322522848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79249282--0.79230108) × cos(-0.73560592) × R
    0.000191739999999996 × 0.741424295080333 × 6371000     		du = 905.705783631858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73546374)-sin(-0.73560592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741519695558793-0.741424295080333)×R²
    abs(-0.79230108--0.79249282)×9.5400478459351e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5400478459351e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5400478459351e-05×40589641000000     		ar = 820467.148548976m²