Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122463 / 27040
↖ ↑ ↗
← N 72.046840°
E156.354675°		 ← 94.14 m → N 72.046840°
E156.357422°		 →
↑
94.10 m
↓
↑
94.10 m
↓
N 72.045994°
E156.354675°		 ← 94.15 m →
8 859 m²		 N 72.045994°
E156.357422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934322357177734 y=0.206302642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934322357177734 × 217)
    floor (0.934322357177734 × 131072)
    floor (122463.5)     		tx = 122463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206302642822266 × 217)
    floor (0.206302642822266 × 131072)
    floor (27040.5)     		ty = 27040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122463 / 27040 ti = "17/122463/27040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122463/27040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122463 ÷ 217
    122463 ÷ 131072     		x = 0.934318542480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27040 ÷ 217
    27040 ÷ 131072     		y = 0.206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934318542480469 × 2 - 1) × π
    0.868637084960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.72890388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206298828125 × 2 - 1) × π
    0.58740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84537888777368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72890388} λ = 2.72890388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84537888777368))-π/2
    2×atan(6.33049788431883)-π/2
    2×1.41412544929127-π/2
    2.82825089858254-1.57079632675     		φ = 1.25745457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72890388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.354675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25745457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.046840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122463 KachelY 27040 2.72890388 1.25745457 156.354675 72.046840
    Oben rechts KachelX + 1 122464 KachelY 27040 2.72895182 1.25745457 156.357422 72.046840
    Unten links KachelX 122463 KachelY + 1 27041 2.72890388 1.25743980 156.354675 72.045994
    Unten rechts KachelX + 1 122464 KachelY + 1 27041 2.72895182 1.25743980 156.357422 72.045994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25745457-1.25743980) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dl = 94.099669999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25745457-1.25743980) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dr = 94.099669999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72890388-2.72895182) × cos(1.25745457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3082393943534 × 6371000     		do = 94.1442451174774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72890388-2.72895182) × cos(1.25743980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308253445151086 × 6371000     		du = 94.1485365927582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25745457)-sin(1.25743980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3082393943534-0.308253445151086)×R²
    abs(2.72895182-2.72890388)×1.4050797686127e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4050797686127e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4050797686127e-05×40589641000000     		ar = 8859.14431117642m²