Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12246 / 12662
↖ ↑ ↗
← S 69.580564°
E 89.077149°		 ← 852.41 m → S 69.580564°
E 89.099121°		 →
↑
852.25 m
↓
↑
852.25 m
↓
S 69.588228°
E 89.077149°		 ← 852.11 m →
726 337 m²		 S 69.588228°
E 89.099121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747467041015625 y=0.772857666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747467041015625 × 214)
    floor (0.747467041015625 × 16384)
    floor (12246.5)     		tx = 12246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772857666015625 × 214)
    floor (0.772857666015625 × 16384)
    floor (12662.5)     		ty = 12662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12246 / 12662 ti = "14/12246/12662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12246/12662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12246 ÷ 214
    12246 ÷ 16384     		x = 0.7474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12662 ÷ 214
    12662 ÷ 16384     		y = 0.7728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7474365234375 × 2 - 1) × π
    0.494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55468953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.545654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71422353041321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55468953} λ = 1.55468953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71422353041321))-π/2
    2×atan(0.180103511333531)-π/2
    2×0.178193199239641-π/2
    0.356386398479282-1.57079632675     		φ = -1.21440993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55468953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.077149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21440993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.580564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12246 KachelY 12662 1.55468953 -1.21440993 89.077149 -69.580564
    Oben rechts KachelX + 1 12247 KachelY 12662 1.55507302 -1.21440993 89.099121 -69.580564
    Unten links KachelX 12246 KachelY + 1 12663 1.55468953 -1.21454370 89.077149 -69.588228
    Unten rechts KachelX + 1 12247 KachelY + 1 12663 1.55507302 -1.21454370 89.099121 -69.588228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21440993--1.21454370) × R
    0.000133769999999922 × 6371000     		dl = 852.248669999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21440993--1.21454370) × R
    0.000133769999999922 × 6371000     		dr = 852.248669999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55468953-1.55507302) × cos(-1.21440993) × R
    0.000383489999999931 × 0.348889980855207 × 6371000     		do = 852.413161308105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55468953-1.55507302) × cos(-1.21454370) × R
    0.000383489999999931 × 0.348764613347221 × 6371000     		du = 852.106861558409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21440993)-sin(-1.21454370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348889980855207-0.348764613347221)×R²
    abs(1.55507302-1.55468953)×0.000125367507985474×R²
    0.000383489999999931×0.000125367507985474×6371000²
    0.000383489999999931×0.000125367507985474×40589641000000     		ar = 726337.462322483m²