Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12244 / 20555
↖ ↑ ↗
← S 41.599013°
W 45.483399°		 ← 913.55 m → S 41.599013°
W 45.472412°		 →
↑
913.47 m
↓
↑
913.47 m
↓
S 41.607228°
W 45.483399°		 ← 913.44 m →
834 454 m²		 S 41.607228°
W 45.472412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373672485351562 y=0.627304077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373672485351562 × 215)
    floor (0.373672485351562 × 32768)
    floor (12244.5)     		tx = 12244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627304077148438 × 215)
    floor (0.627304077148438 × 32768)
    floor (20555.5)     		ty = 20555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12244 / 20555 ti = "15/12244/20555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12244/20555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12244 ÷ 215
    12244 ÷ 32768     		x = 0.3736572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20555 ÷ 215
    20555 ÷ 32768     		y = 0.627288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79383506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.25457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.799779233261017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79383506} λ = -0.79383506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799779233261017))-π/2
    2×atan(0.449428171957853)-π/2
    2×0.42237829171255-π/2
    0.844756583425099-1.57079632675     		φ = -0.72603974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79383506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.483399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72603974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.599013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12244 KachelY 20555 -0.79383506 -0.72603974 -45.483399 -41.599013
    Oben rechts KachelX + 1 12245 KachelY 20555 -0.79364331 -0.72603974 -45.472412 -41.599013
    Unten links KachelX 12244 KachelY + 1 20556 -0.79383506 -0.72618312 -45.483399 -41.607228
    Unten rechts KachelX + 1 12245 KachelY + 1 20556 -0.79364331 -0.72618312 -45.472412 -41.607228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72603974--0.72618312) × R
    0.000143379999999915 × 6371000     		dl = 913.47397999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72603974--0.72618312) × R
    0.000143379999999915 × 6371000     		dr = 913.47397999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79383506--0.79364331) × cos(-0.72603974) × R
    0.000191750000000046 × 0.747809529059158 × 6371000     		do = 913.553472222902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79383506--0.79364331) × cos(-0.72618312) × R
    0.000191750000000046 × 0.747714329479723 × 6371000     		du = 913.437172680081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72603974)-sin(-0.72618312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747809529059158-0.747714329479723)×R²
    abs(-0.79364331--0.79383506)×9.51995794352678e-05×R²
    0.000191750000000046×9.51995794352678e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.51995794352678e-05×40589641000000     		ar = 834454.209340697m²