Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12244 / 12628
↖ ↑ ↗
← S 69.318320°
E 89.033203°		 ← 862.88 m → S 69.318320°
E 89.055176°		 →
↑
862.70 m
↓
↑
862.70 m
↓
S 69.326079°
E 89.033203°		 ← 862.57 m →
744 274 m²		 S 69.326079°
E 89.055176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747344970703125 y=0.770782470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747344970703125 × 214)
    floor (0.747344970703125 × 16384)
    floor (12244.5)     		tx = 12244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770782470703125 × 214)
    floor (0.770782470703125 × 16384)
    floor (12628.5)     		ty = 12628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12244 / 12628 ti = "14/12244/12628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12244/12628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12244 ÷ 214
    12244 ÷ 16384     		x = 0.747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12628 ÷ 214
    12628 ÷ 16384     		y = 0.770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747314453125 × 2 - 1) × π
    0.49462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55392254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.54150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70118469371655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55392254} λ = 1.55392254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70118469371655))-π/2
    2×atan(0.182467228177152)-π/2
    2×0.180481704824096-π/2
    0.360963409648192-1.57079632675     		φ = -1.20983292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55392254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20983292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.318320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12244 KachelY 12628 1.55392254 -1.20983292 89.033203 -69.318320
    Oben rechts KachelX + 1 12245 KachelY 12628 1.55430603 -1.20983292 89.055176 -69.318320
    Unten links KachelX 12244 KachelY + 1 12629 1.55392254 -1.20996833 89.033203 -69.326079
    Unten rechts KachelX + 1 12245 KachelY + 1 12629 1.55430603 -1.20996833 89.055176 -69.326079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20983292--1.20996833) × R
    0.000135409999999947 × 6371000     		dl = 862.697109999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20983292--1.20996833) × R
    0.000135409999999947 × 6371000     		dr = 862.697109999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55392254-1.55430603) × cos(-1.20983292) × R
    0.000383489999999931 × 0.353175719012746 × 6371000     		do = 862.88414016067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55392254-1.55430603) × cos(-1.20996833) × R
    0.000383489999999931 × 0.353049032001057 × 6371000     		du = 862.574616580011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20983292)-sin(-1.20996833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353175719012746-0.353049032001057)×R²
    abs(1.55430603-1.55392254)×0.00012668701168872×R²
    0.000383489999999931×0.00012668701168872×6371000²
    0.000383489999999931×0.00012668701168872×40589641000000     		ar = 744274.142569805m²