Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122435 / 28205
↖ ↑ ↗
← N 71.033928°
E156.277771°		 ← 99.27 m → N 71.033928°
E156.280518°		 →
↑
99.26 m
↓
↑
99.26 m
↓
N 71.033035°
E156.277771°		 ← 99.27 m →
9 853 m²		 N 71.033035°
E156.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934108734130859 y=0.215190887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934108734130859 × 217)
    floor (0.934108734130859 × 131072)
    floor (122435.5)     		tx = 122435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215190887451172 × 217)
    floor (0.215190887451172 × 131072)
    floor (28205.5)     		ty = 28205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122435 / 28205 ti = "17/122435/28205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122435/28205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122435 ÷ 217
    122435 ÷ 131072     		x = 0.934104919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28205 ÷ 217
    28205 ÷ 131072     		y = 0.215187072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934104919433594 × 2 - 1) × π
    0.868209838867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.72756165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215187072753906 × 2 - 1) × π
    0.569625854492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.78953239971632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72756165} λ = 2.72756165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78953239971632))-π/2
    2×atan(5.98665245140564)-π/2
    2×1.40528612232588-π/2
    2.81057224465176-1.57079632675     		φ = 1.23977592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72756165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.277771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23977592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.033928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122435 KachelY 28205 2.72756165 1.23977592 156.277771 71.033928
    Oben rechts KachelX + 1 122436 KachelY 28205 2.72760959 1.23977592 156.280518 71.033928
    Unten links KachelX 122435 KachelY + 1 28206 2.72756165 1.23976034 156.277771 71.033035
    Unten rechts KachelX + 1 122436 KachelY + 1 28206 2.72760959 1.23976034 156.280518 71.033035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23977592-1.23976034) × R
    1.5580000000126e-05 × 6371000     		dl = 99.2601800008031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23977592-1.23976034) × R
    1.5580000000126e-05 × 6371000     		dr = 99.2601800008031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72756165-2.72760959) × cos(1.23977592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325008207561289 × 6371000     		do = 99.2658723004151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72756165-2.72760959) × cos(1.23976034) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325022941702266 × 6371000     		du = 99.2703724863264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23977592)-sin(1.23976034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325008207561289-0.325022941702266)×R²
    abs(2.72760959-2.72756165)×1.47341409774682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47341409774682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47341409774682e-05×40589641000000     		ar = 9853.37169720777m²