Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12243 / 20371
↖ ↑ ↗
← S 40.069665°
W 45.494385°		 ← 934.87 m → S 40.069665°
W 45.483399°		 →
↑
934.75 m
↓
↑
934.75 m
↓
S 40.078071°
W 45.494385°		 ← 934.76 m →
873 823 m²		 S 40.078071°
W 45.483399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373641967773438 y=0.621688842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373641967773438 × 215)
    floor (0.373641967773438 × 32768)
    floor (12243.5)     		tx = 12243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621688842773438 × 215)
    floor (0.621688842773438 × 32768)
    floor (20371.5)     		ty = 20371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12243 / 20371 ti = "15/12243/20371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12243/20371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12243 ÷ 215
    12243 ÷ 32768     		x = 0.373626708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20371 ÷ 215
    20371 ÷ 32768     		y = 0.621673583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.25274658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79402681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.24334716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.764497675140656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79402681} λ = -0.79402681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764497675140656))-π/2
    2×atan(0.465567738494487)-π/2
    2×0.435724375355254-π/2
    0.871448750710508-1.57079632675     		φ = -0.69934758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79402681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.494385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69934758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.069665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12243 KachelY 20371 -0.79402681 -0.69934758 -45.494385 -40.069665
    Oben rechts KachelX + 1 12244 KachelY 20371 -0.79383506 -0.69934758 -45.483399 -40.069665
    Unten links KachelX 12243 KachelY + 1 20372 -0.79402681 -0.69949430 -45.494385 -40.078071
    Unten rechts KachelX + 1 12244 KachelY + 1 20372 -0.79383506 -0.69949430 -45.483399 -40.078071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69934758--0.69949430) × R
    0.000146720000000045 × 6371000     		dl = 934.753120000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69934758--0.69949430) × R
    0.000146720000000045 × 6371000     		dr = 934.753120000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79402681--0.79383506) × cos(-0.69934758) × R
    0.000191749999999935 × 0.765262324979936 × 6371000     		do = 934.874492741429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79402681--0.79383506) × cos(-0.69949430) × R
    0.000191749999999935 × 0.765167870357543 × 6371000     		du = 934.759103267369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69934758)-sin(-0.69949430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765262324979936-0.765167870357543)×R²
    abs(-0.79383506--0.79402681)×9.44546223937692e-05×R²
    0.000191749999999935×9.44546223937692e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.44546223937692e-05×40589641000000     		ar = 873822.920131035m²