Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12243 / 12634
↖ ↑ ↗
← S 69.364831°
E 89.011230°		 ← 861.05 m → S 69.364831°
E 89.033203°		 →
↑
860.91 m
↓
↑
860.91 m
↓
S 69.372574°
E 89.011230°		 ← 860.74 m →
741 157 m²		 S 69.372574°
E 89.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747283935546875 y=0.771148681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747283935546875 × 214)
    floor (0.747283935546875 × 16384)
    floor (12243.5)     		tx = 12243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771148681640625 × 214)
    floor (0.771148681640625 × 16384)
    floor (12634.5)     		ty = 12634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12243 / 12634 ti = "14/12243/12634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12243/12634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12243 ÷ 214
    12243 ÷ 16384     		x = 0.74725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12634 ÷ 214
    12634 ÷ 16384     		y = 0.7711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74725341796875 × 2 - 1) × π
    0.4945068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55353904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.542236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70348566489832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55353904} λ = 1.55353904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70348566489832))-π/2
    2×atan(0.182047859006716)-π/2
    2×0.180075818320493-π/2
    0.360151636640986-1.57079632675     		φ = -1.21064469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55353904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.011230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21064469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.364831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12243 KachelY 12634 1.55353904 -1.21064469 89.011230 -69.364831
    Oben rechts KachelX + 1 12244 KachelY 12634 1.55392254 -1.21064469 89.033203 -69.364831
    Unten links KachelX 12243 KachelY + 1 12635 1.55353904 -1.21077982 89.011230 -69.372574
    Unten rechts KachelX + 1 12244 KachelY + 1 12635 1.55392254 -1.21077982 89.033203 -69.372574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21064469--1.21077982) × R
    0.000135129999999872 × 6371000     		dl = 860.913229999186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21064469--1.21077982) × R
    0.000135129999999872 × 6371000     		dr = 860.913229999186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55353904-1.55392254) × cos(-1.21064469) × R
    0.000383500000000092 × 0.352416145619195 × 6371000     		do = 861.050791644456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55353904-1.55392254) × cos(-1.21077982) × R
    0.000383500000000092 × 0.352289681884009 × 6371000     		du = 860.741805519246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21064469)-sin(-1.21077982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352416145619195-0.352289681884009)×R²
    abs(1.55392254-1.55353904)×0.000126463735186044×R²
    0.000383500000000092×0.000126463735186044×6371000²
    0.000383500000000092×0.000126463735186044×40589641000000     		ar = 741157.014234912m²