Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122425 / 28217
↖ ↑ ↗
← N 71.023213°
E156.250305°		 ← 99.32 m → N 71.023213°
E156.253052°		 →
↑
99.32 m
↓
↑
99.32 m
↓
N 71.022320°
E156.250305°		 ← 99.32 m →
9 865 m²		 N 71.022320°
E156.253052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934032440185547 y=0.215282440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934032440185547 × 217)
    floor (0.934032440185547 × 131072)
    floor (122425.5)     		tx = 122425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215282440185547 × 217)
    floor (0.215282440185547 × 131072)
    floor (28217.5)     		ty = 28217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122425 / 28217 ti = "17/122425/28217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122425/28217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122425 ÷ 217
    122425 ÷ 131072     		x = 0.934028625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28217 ÷ 217
    28217 ÷ 131072     		y = 0.215278625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934028625488281 × 2 - 1) × π
    0.868057250976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.72708228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215278625488281 × 2 - 1) × π
    0.569442749023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.78895715692088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72708228} λ = 2.72708228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78895715692088))-π/2
    2×atan(5.9832096630287)-π/2
    2×1.40519261757929-π/2
    2.81038523515859-1.57079632675     		φ = 1.23958891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72708228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.250305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23958891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.023213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122425 KachelY 28217 2.72708228 1.23958891 156.250305 71.023213
    Oben rechts KachelX + 1 122426 KachelY 28217 2.72713022 1.23958891 156.253052 71.023213
    Unten links KachelX 122425 KachelY + 1 28218 2.72708228 1.23957332 156.250305 71.022320
    Unten rechts KachelX + 1 122426 KachelY + 1 28218 2.72713022 1.23957332 156.253052 71.022320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23958891-1.23957332) × R
    1.55899999998432e-05 × 6371000     		dl = 99.3238899990012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23958891-1.23957332) × R
    1.55899999998432e-05 × 6371000     		dr = 99.3238899990012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72708228-2.72713022) × cos(1.23958891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325185059327687 × 6371000     		do = 99.3198873820377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72708228-2.72713022) × cos(1.23957332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32519980197789 × 6371000     		du = 99.3243901668853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23958891)-sin(1.23957332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325185059327687-0.32519980197789)×R²
    abs(2.72713022-2.72708228)×1.4742650202404e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4742650202404e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4742650202404e-05×40589641000000     		ar = 9865.06118629185m²