Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122421 / 28211
↖ ↑ ↗
← N 71.028571°
E156.239319°		 ← 99.29 m → N 71.028571°
E156.242065°		 →
↑
99.32 m
↓
↑
99.32 m
↓
N 71.027678°
E156.239319°		 ← 99.30 m →
9 862 m²		 N 71.027678°
E156.242065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934001922607422 y=0.215236663818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934001922607422 × 217)
    floor (0.934001922607422 × 131072)
    floor (122421.5)     		tx = 122421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215236663818359 × 217)
    floor (0.215236663818359 × 131072)
    floor (28211.5)     		ty = 28211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122421 / 28211 ti = "17/122421/28211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122421/28211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122421 ÷ 217
    122421 ÷ 131072     		x = 0.933998107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28211 ÷ 217
    28211 ÷ 131072     		y = 0.215232849121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933998107910156 × 2 - 1) × π
    0.867996215820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.72689053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215232849121094 × 2 - 1) × π
    0.569534301757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.7892447783186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72689053} λ = 2.72689053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7892447783186))-π/2
    2×atan(5.98493080966227)-π/2
    2×1.40523937631086-π/2
    2.81047875262173-1.57079632675     		φ = 1.23968243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72689053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.239319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23968243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.028571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122421 KachelY 28211 2.72689053 1.23968243 156.239319 71.028571
    Oben rechts KachelX + 1 122422 KachelY 28211 2.72693847 1.23968243 156.242065 71.028571
    Unten links KachelX 122421 KachelY + 1 28212 2.72689053 1.23966684 156.239319 71.027678
    Unten rechts KachelX + 1 122422 KachelY + 1 28212 2.72693847 1.23966684 156.242065 71.027678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23968243-1.23966684) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dl = 99.3238900004159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23968243-1.23966684) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dr = 99.3238900004159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72689053-2.72693847) × cos(1.23968243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325096620680466 × 6371000     		do = 99.2928759427655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72689053-2.72693847) × cos(1.23966684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325111363804727 × 6371000     		du = 99.2973788724029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23968243)-sin(1.23966684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325096620680466-0.325111363804727)×R²
    abs(2.72693847-2.72689053)×1.47431242611407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47431242611407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47431242611407e-05×40589641000000     		ar = 9862.37831254912m²