Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12242 / 20369
↖ ↑ ↗
← S 40.052848°
W 45.505371°		 ← 935.06 m → S 40.052848°
W 45.494385°		 →
↑
935.01 m
↓
↑
935.01 m
↓
S 40.061257°
W 45.505371°		 ← 934.94 m →
874 231 m²		 S 40.061257°
W 45.494385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373611450195312 y=0.621627807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373611450195312 × 215)
    floor (0.373611450195312 × 32768)
    floor (12242.5)     		tx = 12242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621627807617188 × 215)
    floor (0.621627807617188 × 32768)
    floor (20369.5)     		ty = 20369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12242 / 20369 ti = "15/12242/20369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12242/20369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12242 ÷ 215
    12242 ÷ 32768     		x = 0.37359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20369 ÷ 215
    20369 ÷ 32768     		y = 0.621612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37359619140625 × 2 - 1) × π
    -0.2528076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79421855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.24322509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.764114179943695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79421855} λ = -0.79421855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764114179943695))-π/2
    2×atan(0.465746315725626)-π/2
    2×0.435871130680135-π/2
    0.871742261360271-1.57079632675     		φ = -0.69905407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79421855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.505371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69905407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.052848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12242 KachelY 20369 -0.79421855 -0.69905407 -45.505371 -40.052848
    Oben rechts KachelX + 1 12243 KachelY 20369 -0.79402681 -0.69905407 -45.494385 -40.052848
    Unten links KachelX 12242 KachelY + 1 20370 -0.79421855 -0.69920083 -45.505371 -40.061257
    Unten rechts KachelX + 1 12243 KachelY + 1 20370 -0.79402681 -0.69920083 -45.494385 -40.061257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69905407--0.69920083) × R
    0.000146760000000024 × 6371000     		dl = 935.00796000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69905407--0.69920083) × R
    0.000146760000000024 × 6371000     		dr = 935.00796000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79421855--0.79402681) × cos(-0.69905407) × R
    0.000191739999999996 × 0.765451229846415 × 6371000     		do = 935.056499443278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79421855--0.79402681) × cos(-0.69920083) × R
    0.000191739999999996 × 0.765356782436901 × 6371000     		du = 934.941124797999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69905407)-sin(-0.69920083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765451229846415-0.765356782436901)×R²
    abs(-0.79402681--0.79421855)×9.44474095146974e-05×R²
    0.000191739999999996×9.44474095146974e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.44474095146974e-05×40589641000000     		ar = 874231.333491879m²