Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12240 / 12637
↖ ↑ ↗
← S 69.388049°
E 88.945313°		 ← 860.10 m → S 69.388049°
E 88.967285°		 →
↑
859.96 m
↓
↑
859.96 m
↓
S 69.395783°
E 88.945313°		 ← 859.79 m →
739 518 m²		 S 69.395783°
E 88.967285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747100830078125 y=0.771331787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747100830078125 × 214)
    floor (0.747100830078125 × 16384)
    floor (12240.5)     		tx = 12240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771331787109375 × 214)
    floor (0.771331787109375 × 16384)
    floor (12637.5)     		ty = 12637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12240 / 12637 ti = "14/12240/12637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12240/12637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12240 ÷ 214
    12240 ÷ 16384     		x = 0.7470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12637 ÷ 214
    12637 ÷ 16384     		y = 0.77130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55238856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.5426025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7046361504892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55238856} λ = 1.55238856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7046361504892))-π/2
    2×atan(0.181838536002716)-π/2
    2×0.179873202572523-π/2
    0.359746405145046-1.57079632675     		φ = -1.21104992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55238856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.945313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21104992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.388049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12240 KachelY 12637 1.55238856 -1.21104992 88.945313 -69.388049
    Oben rechts KachelX + 1 12241 KachelY 12637 1.55277205 -1.21104992 88.967285 -69.388049
    Unten links KachelX 12240 KachelY + 1 12638 1.55238856 -1.21118490 88.945313 -69.395783
    Unten rechts KachelX + 1 12241 KachelY + 1 12638 1.55277205 -1.21118490 88.967285 -69.395783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21104992--1.21118490) × R
    0.000134979999999896 × 6371000     		dl = 859.957579999336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21104992--1.21118490) × R
    0.000134979999999896 × 6371000     		dr = 859.957579999336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55238856-1.55277205) × cos(-1.21104992) × R
    0.000383489999999931 × 0.352036884875179 × 6371000     		do = 860.101723752409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55238856-1.55277205) × cos(-1.21118490) × R
    0.000383489999999931 × 0.351910542261028 × 6371000     		du = 859.793041608909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21104992)-sin(-1.21118490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352036884875179-0.351910542261028)×R²
    abs(1.55277205-1.55238856)×0.000126342614150621×R²
    0.000383489999999931×0.000126342614150621×6371000²
    0.000383489999999931×0.000126342614150621×40589641000000     		ar = 739518.271260064m²