Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12240 / 12626
↖ ↑ ↗
← S 69.302794°
E 88.945313°		 ← 863.50 m → S 69.302794°
E 88.967285°		 →
↑
863.33 m
↓
↑
863.33 m
↓
S 69.310558°
E 88.945313°		 ← 863.19 m →
745 358 m²		 S 69.310558°
E 88.967285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747100830078125 y=0.770660400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747100830078125 × 214)
    floor (0.747100830078125 × 16384)
    floor (12240.5)     		tx = 12240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770660400390625 × 214)
    floor (0.770660400390625 × 16384)
    floor (12626.5)     		ty = 12626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12240 / 12626 ti = "14/12240/12626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12240/12626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12240 ÷ 214
    12240 ÷ 16384     		x = 0.7470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12626 ÷ 214
    12626 ÷ 16384     		y = 0.7706298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55238856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7706298828125 × 2 - 1) × π
    -0.541259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70041770332263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55238856} λ = 1.55238856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70041770332263))-π/2
    2×atan(0.18260723247248)-π/2
    2×0.180617194620822-π/2
    0.361234389241643-1.57079632675     		φ = -1.20956194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55238856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.945313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20956194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.302794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12240 KachelY 12626 1.55238856 -1.20956194 88.945313 -69.302794
    Oben rechts KachelX + 1 12241 KachelY 12626 1.55277205 -1.20956194 88.967285 -69.302794
    Unten links KachelX 12240 KachelY + 1 12627 1.55238856 -1.20969745 88.945313 -69.310558
    Unten rechts KachelX + 1 12241 KachelY + 1 12627 1.55277205 -1.20969745 88.967285 -69.310558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20956194--1.20969745) × R
    0.000135510000000005 × 6371000     		dl = 863.334210000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20956194--1.20969745) × R
    0.000135510000000005 × 6371000     		dr = 863.334210000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55238856-1.55277205) × cos(-1.20956194) × R
    0.000383489999999931 × 0.353429223280258 × 6371000     		do = 863.503505536383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55238856-1.55277205) × cos(-1.20969745) × R
    0.000383489999999931 × 0.353302455679201 × 6371000     		du = 863.193785058588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20956194)-sin(-1.20969745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353429223280258-0.353302455679201)×R²
    abs(1.55277205-1.55238856)×0.000126767601056843×R²
    0.000383489999999931×0.000126767601056843×6371000²
    0.000383489999999931×0.000126767601056843×40589641000000     		ar = 745358.421783071m²