Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122385 / 28242
↖ ↑ ↗
← N 71.000872°
E156.140442°		 ← 99.41 m → N 71.000872°
E156.143188°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
N 70.999977°
E156.140442°		 ← 99.42 m →
9 887 m²		 N 70.999977°
E156.143188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933727264404297 y=0.215473175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933727264404297 × 217)
    floor (0.933727264404297 × 131072)
    floor (122385.5)     		tx = 122385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215473175048828 × 217)
    floor (0.215473175048828 × 131072)
    floor (28242.5)     		ty = 28242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122385 / 28242 ti = "17/122385/28242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122385/28242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122385 ÷ 217
    122385 ÷ 131072     		x = 0.933723449707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28242 ÷ 217
    28242 ÷ 131072     		y = 0.215469360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933723449707031 × 2 - 1) × π
    0.867446899414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.72516481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215469360351562 × 2 - 1) × π
    0.569061279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78775873443037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72516481} λ = 2.72516481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78775873443037))-π/2
    2×atan(5.9760435448794)-π/2
    2×1.40499765258402-π/2
    2.80999530516804-1.57079632675     		φ = 1.23919898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72516481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.140442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23919898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.000872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122385 KachelY 28242 2.72516481 1.23919898 156.140442 71.000872
    Oben rechts KachelX + 1 122386 KachelY 28242 2.72521274 1.23919898 156.143188 71.000872
    Unten links KachelX 122385 KachelY + 1 28243 2.72516481 1.23918337 156.140442 70.999977
    Unten rechts KachelX + 1 122386 KachelY + 1 28243 2.72521274 1.23918337 156.143188 70.999977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23919898-1.23918337) × R
    1.56100000001658e-05 × 6371000     		dl = 99.4513100010561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23919898-1.23918337) × R
    1.56100000001658e-05 × 6371000     		dr = 99.4513100010561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72516481-2.72521274) × cos(1.23919898) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325553772056991 × 6371000     		do = 99.4117607095409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72516481-2.72521274) × cos(1.23918337) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325568531639594 × 6371000     		du = 99.4162677256466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23919898)-sin(1.23918337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325553772056991-0.325568531639594)×R²
    abs(2.72521274-2.72516481)×1.47595826032743e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47595826032743e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47595826032743e-05×40589641000000     		ar = 9886.85394678824m²