Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122382 / 28320
↖ ↑ ↗
← N 70.931003°
E156.132202°		 ← 99.76 m → N 70.931003°
E156.134949°		 →
↑
99.77 m
↓
↑
99.77 m
↓
N 70.930106°
E156.132202°		 ← 99.77 m →
9 954 m²		 N 70.930106°
E156.134949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933704376220703 y=0.216068267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933704376220703 × 217)
    floor (0.933704376220703 × 131072)
    floor (122382.5)     		tx = 122382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216068267822266 × 217)
    floor (0.216068267822266 × 131072)
    floor (28320.5)     		ty = 28320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122382 / 28320 ti = "17/122382/28320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122382/28320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122382 ÷ 217
    122382 ÷ 131072     		x = 0.933700561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28320 ÷ 217
    28320 ÷ 131072     		y = 0.216064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933700561523438 × 2 - 1) × π
    0.867401123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72502100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216064453125 × 2 - 1) × π
    0.56787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78401965626001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72502100} λ = 2.72502100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78401965626001))-π/2
    2×atan(5.95374037355061)-π/2
    2×1.40438794008109-π/2
    2.80877588016217-1.57079632675     		φ = 1.23797955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72502100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.132202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23797955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.931003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122382 KachelY 28320 2.72502100 1.23797955 156.132202 70.931003
    Oben rechts KachelX + 1 122383 KachelY 28320 2.72506893 1.23797955 156.134949 70.931003
    Unten links KachelX 122382 KachelY + 1 28321 2.72502100 1.23796389 156.132202 70.930106
    Unten rechts KachelX + 1 122383 KachelY + 1 28321 2.72506893 1.23796389 156.134949 70.930106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23797955-1.23796389) × R
    1.56599999998619e-05 × 6371000     		dl = 99.7698599991201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23797955-1.23796389) × R
    1.56599999998619e-05 × 6371000     		dr = 99.7698599991201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72502100-2.72506893) × cos(1.23797955) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.326706529475913 × 6371000     		do = 99.7637690550807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72502100-2.72506893) × cos(1.23796389) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.326721330106425 × 6371000     		du = 99.7682886056591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23797955)-sin(1.23796389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326706529475913-0.326721330106425)×R²
    abs(2.72506893-2.72502100)×1.4800630512124e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4800630512124e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4800630512124e-05×40589641000000     		ar = 9953.64272920936m²