Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122380 / 28238
↖ ↑ ↗
← N 71.004448°
E156.126709°		 ← 99.41 m → N 71.004448°
E156.129456°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
N 71.003554°
E156.126709°		 ← 99.42 m →
9 887 m²		 N 71.003554°
E156.129456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933689117431641 y=0.215442657470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933689117431641 × 217)
    floor (0.933689117431641 × 131072)
    floor (122380.5)     		tx = 122380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215442657470703 × 217)
    floor (0.215442657470703 × 131072)
    floor (28238.5)     		ty = 28238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122380 / 28238 ti = "17/122380/28238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122380/28238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122380 ÷ 217
    122380 ÷ 131072     		x = 0.933685302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28238 ÷ 217
    28238 ÷ 131072     		y = 0.215438842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933685302734375 × 2 - 1) × π
    0.86737060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72492512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215438842773438 × 2 - 1) × π
    0.569122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78795048202885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72492512} λ = 2.72492512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78795048202885))-π/2
    2×atan(5.97718954674558)-π/2
    2×1.4050288618319-π/2
    2.8100577236638-1.57079632675     		φ = 1.23926140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72492512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.126709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23926140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.004448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122380 KachelY 28238 2.72492512 1.23926140 156.126709 71.004448
    Oben rechts KachelX + 1 122381 KachelY 28238 2.72497306 1.23926140 156.129456 71.004448
    Unten links KachelX 122380 KachelY + 1 28239 2.72492512 1.23924579 156.126709 71.003554
    Unten rechts KachelX + 1 122381 KachelY + 1 28239 2.72497306 1.23924579 156.129456 71.003554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23926140-1.23924579) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23926140-1.23924579) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72492512-2.72497306) × cos(1.23926140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325494751844208 × 6371000     		do = 99.4144754480684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72492512-2.72497306) × cos(1.23924579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325509511744001 × 6371000     		du = 99.4189835013851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23926140)-sin(1.23924579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325494751844208-0.325509511744001)×R²
    abs(2.72497306-2.72492512)×1.47598997933818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47598997933818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47598997933818e-05×40589641000000     		ar = 9887.12398225851m²