Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12238 / 12625
↖ ↑ ↗
← S 69.295027°
E 88.901367°		 ← 863.81 m → S 69.295027°
E 88.923340°		 →
↑
863.72 m
↓
↑
863.72 m
↓
S 69.302794°
E 88.901367°		 ← 863.50 m →
745 956 m²		 S 69.302794°
E 88.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746978759765625 y=0.770599365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746978759765625 × 214)
    floor (0.746978759765625 × 16384)
    floor (12238.5)     		tx = 12238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770599365234375 × 214)
    floor (0.770599365234375 × 16384)
    floor (12625.5)     		ty = 12625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12238 / 12625 ti = "14/12238/12625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12238/12625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12238 ÷ 214
    12238 ÷ 16384     		x = 0.7469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12625 ÷ 214
    12625 ÷ 16384     		y = 0.77056884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7469482421875 × 2 - 1) × π
    0.493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55162157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77056884765625 × 2 - 1) × π
    -0.5411376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70003420812567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55162157} λ = 1.55162157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70003420812567))-π/2
    2×atan(0.182677274898672)-π/2
    2×0.180684975983232-π/2
    0.361369951966464-1.57079632675     		φ = -1.20942637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55162157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20942637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.295027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12238 KachelY 12625 1.55162157 -1.20942637 88.901367 -69.295027
    Oben rechts KachelX + 1 12239 KachelY 12625 1.55200506 -1.20942637 88.923340 -69.295027
    Unten links KachelX 12238 KachelY + 1 12626 1.55162157 -1.20956194 88.901367 -69.302794
    Unten rechts KachelX + 1 12239 KachelY + 1 12626 1.55200506 -1.20956194 88.923340 -69.302794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20942637--1.20956194) × R
    0.000135569999999863 × 6371000     		dl = 863.716469999126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20942637--1.20956194) × R
    0.000135569999999863 × 6371000     		dr = 863.716469999126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55162157-1.55200506) × cos(-1.20942637) × R
    0.000383489999999931 × 0.353556040516109 × 6371000     		do = 863.813347282642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55162157-1.55200506) × cos(-1.20956194) × R
    0.000383489999999931 × 0.353429223280258 × 6371000     		du = 863.503505536383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20942637)-sin(-1.20956194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353556040516109-0.353429223280258)×R²
    abs(1.55200506-1.55162157)×0.000126817235851284×R²
    0.000383489999999931×0.000126817235851284×6371000²
    0.000383489999999931×0.000126817235851284×40589641000000     		ar = 745956.008485007m²