Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122372 / 28256
↖ ↑ ↗
← N 70.988349°
E156.104737°		 ← 99.47 m → N 70.988349°
E156.107483°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
N 70.987455°
E156.104737°		 ← 99.48 m →
9 893 m²		 N 70.987455°
E156.107483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933628082275391 y=0.215579986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933628082275391 × 217)
    floor (0.933628082275391 × 131072)
    floor (122372.5)     		tx = 122372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215579986572266 × 217)
    floor (0.215579986572266 × 131072)
    floor (28256.5)     		ty = 28256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122372 / 28256 ti = "17/122372/28256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122372/28256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122372 ÷ 217
    122372 ÷ 131072     		x = 0.933624267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28256 ÷ 217
    28256 ÷ 131072     		y = 0.215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933624267578125 × 2 - 1) × π
    0.86724853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.72454163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215576171875 × 2 - 1) × π
    0.56884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78708761783569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72454163} λ = 2.72454163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78708761783569))-π/2
    2×atan(5.97203426838237)-π/2
    2×1.4048883756474-π/2
    2.8097767512948-1.57079632675     		φ = 1.23898042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72454163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.104737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23898042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.988349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122372 KachelY 28256 2.72454163 1.23898042 156.104737 70.988349
    Oben rechts KachelX + 1 122373 KachelY 28256 2.72458956 1.23898042 156.107483 70.988349
    Unten links KachelX 122372 KachelY + 1 28257 2.72454163 1.23896481 156.104737 70.987455
    Unten rechts KachelX + 1 122373 KachelY + 1 28257 2.72458956 1.23896481 156.107483 70.987455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23898042-1.23896481) × R
    1.56100000001658e-05 × 6371000     		dl = 99.4513100010561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23898042-1.23896481) × R
    1.56100000001658e-05 × 6371000     		dr = 99.4513100010561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72454163-2.72458956) × cos(1.23898042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325760417901964 × 6371000     		do = 99.474862504253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72454163-2.72458956) × cos(1.23896481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325775176373491 × 6371000     		du = 99.4793691810781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23898042)-sin(1.23896481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325760417901964-0.325775176373491)×R²
    abs(2.72458956-2.72454163)×1.47584715268212e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47584715268212e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47584715268212e-05×40589641000000     		ar = 9893.12948593818m²