Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12237 / 12698
↖ ↑ ↗
← S 69.854762°
E 88.879394°		 ← 841.47 m → S 69.854762°
E 88.901367°		 →
↑
841.29 m
↓
↑
841.29 m
↓
S 69.862328°
E 88.879394°		 ← 841.16 m →
707 791 m²		 S 69.862328°
E 88.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746917724609375 y=0.775054931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746917724609375 × 214)
    floor (0.746917724609375 × 16384)
    floor (12237.5)     		tx = 12237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775054931640625 × 214)
    floor (0.775054931640625 × 16384)
    floor (12698.5)     		ty = 12698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12237 / 12698 ti = "14/12237/12698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12237/12698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12237 ÷ 214
    12237 ÷ 16384     		x = 0.74688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12698 ÷ 214
    12698 ÷ 16384     		y = 0.7750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74688720703125 × 2 - 1) × π
    0.4937744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55123807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72802935750378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55123807} λ = 1.55123807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72802935750378))-π/2
    2×atan(0.177634118624276)-π/2
    2×0.175800364090067-π/2
    0.351600728180134-1.57079632675     		φ = -1.21919560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55123807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.879394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21919560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.854762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12237 KachelY 12698 1.55123807 -1.21919560 88.879394 -69.854762
    Oben rechts KachelX + 1 12238 KachelY 12698 1.55162157 -1.21919560 88.901367 -69.854762
    Unten links KachelX 12237 KachelY + 1 12699 1.55123807 -1.21932765 88.879394 -69.862328
    Unten rechts KachelX + 1 12238 KachelY + 1 12699 1.55162157 -1.21932765 88.901367 -69.862328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21919560--1.21932765) × R
    0.000132050000000161 × 6371000     		dl = 841.290550001027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21919560--1.21932765) × R
    0.000132050000000161 × 6371000     		dr = 841.290550001027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55123807-1.55162157) × cos(-1.21919560) × R
    0.000383500000000092 × 0.344401046577212 × 6371000     		do = 841.467672479802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55123807-1.55162157) × cos(-1.21932765) × R
    0.000383500000000092 × 0.344277072047393 × 6371000     		du = 841.164768176547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21919560)-sin(-1.21932765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344401046577212-0.344277072047393)×R²
    abs(1.55162157-1.55123807)×0.000123974529819104×R²
    0.000383500000000092×0.000123974529819104×6371000²
    0.000383500000000092×0.000123974529819104×40589641000000     		ar = 707791.386752376m²