Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122369 / 27136
↖ ↑ ↗
← N 71.965388°
E156.096497°		 ← 94.54 m → N 71.965388°
E156.099243°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
N 71.964537°
E156.096497°		 ← 94.54 m →
8 938 m²		 N 71.964537°
E156.099243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933605194091797 y=0.207035064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933605194091797 × 217)
    floor (0.933605194091797 × 131072)
    floor (122369.5)     		tx = 122369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207035064697266 × 217)
    floor (0.207035064697266 × 131072)
    floor (27136.5)     		ty = 27136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122369 / 27136 ti = "17/122369/27136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122369/27136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122369 ÷ 217
    122369 ÷ 131072     		x = 0.933601379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27136 ÷ 217
    27136 ÷ 131072     		y = 0.20703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933601379394531 × 2 - 1) × π
    0.867202758789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.72439782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20703125 × 2 - 1) × π
    0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72439782} λ = 2.72439782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84077694541016))-π/2
    2×atan(6.30143222845502)-π/2
    2×1.41341464480134-π/2
    2.82682928960268-1.57079632675     		φ = 1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72439782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.096497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122369 KachelY 27136 2.72439782 1.25603296 156.096497 71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 122370 KachelY 27136 2.72444575 1.25603296 156.099243 71.965388
    Unten links KachelX 122369 KachelY + 1 27137 2.72439782 1.25601812 156.096497 71.964537
    Unten rechts KachelX + 1 122370 KachelY + 1 27137 2.72444575 1.25601812 156.099243 71.964537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25603296-1.25601812) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25603296-1.25601812) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72439782-2.72444575) × cos(1.25603296) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 94.5374805319834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72439782-2.72444575) × cos(1.25601812) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309605583432771 × 6371000     		du = 94.5417894564231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25603296)-sin(1.25601812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.309605583432771)×R²
    abs(2.72444575-2.72439782)×1.41108717403582e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41108717403582e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41108717403582e-05×40589641000000     		ar = 8938.31029616634m²