Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12236 / 12782
↖ ↑ ↗
← S 70.480896°
E 88.857422°		 ← 816.33 m → S 70.480896°
E 88.879394°		 →
↑
816.19 m
↓
↑
816.19 m
↓
S 70.488236°
E 88.857422°		 ← 816.03 m →
666 159 m²		 S 70.488236°
E 88.879394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746856689453125 y=0.780181884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746856689453125 × 214)
    floor (0.746856689453125 × 16384)
    floor (12236.5)     		tx = 12236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780181884765625 × 214)
    floor (0.780181884765625 × 16384)
    floor (12782.5)     		ty = 12782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12236 / 12782 ti = "14/12236/12782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12236/12782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12236 ÷ 214
    12236 ÷ 16384     		x = 0.746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12782 ÷ 214
    12782 ÷ 16384     		y = 0.7801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746826171875 × 2 - 1) × π
    0.49365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55085458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76024295404846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55085458} λ = 1.55085458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76024295404846))-π/2
    2×atan(0.172003069904074)-π/2
    2×0.170336317770417-π/2
    0.340672635540835-1.57079632675     		φ = -1.23012369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55085458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23012369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.480896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12236 KachelY 12782 1.55085458 -1.23012369 88.857422 -70.480896
    Oben rechts KachelX + 1 12237 KachelY 12782 1.55123807 -1.23012369 88.879394 -70.480896
    Unten links KachelX 12236 KachelY + 1 12783 1.55085458 -1.23025180 88.857422 -70.488236
    Unten rechts KachelX + 1 12237 KachelY + 1 12783 1.55123807 -1.23025180 88.879394 -70.488236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23012369--1.23025180) × R
    0.000128109999999904 × 6371000     		dl = 816.188809999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23012369--1.23025180) × R
    0.000128109999999904 × 6371000     		dr = 816.188809999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55085458-1.55123807) × cos(-1.23012369) × R
    0.000383489999999931 × 0.334121148128101 × 6371000     		do = 816.329730758211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55085458-1.55123807) × cos(-1.23025180) × R
    0.000383489999999931 × 0.334000397850807 × 6371000     		du = 816.034711894828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23012369)-sin(-1.23025180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334121148128101-0.334000397850807)×R²
    abs(1.55123807-1.55085458)×0.000120750277294579×R²
    0.000383489999999931×0.000120750277294579×6371000²
    0.000383489999999931×0.000120750277294579×40589641000000     		ar = 666158.796878148m²