Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122359 / 28278
↖ ↑ ↗
← N 70.968655°
E156.069031°		 ← 99.57 m → N 70.968655°
E156.071777°		 →
↑
99.58 m
↓
↑
99.58 m
↓
N 70.967760°
E156.069031°		 ← 99.58 m →
9 916 m²		 N 70.967760°
E156.071777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933528900146484 y=0.215747833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933528900146484 × 217)
    floor (0.933528900146484 × 131072)
    floor (122359.5)     		tx = 122359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215747833251953 × 217)
    floor (0.215747833251953 × 131072)
    floor (28278.5)     		ty = 28278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122359 / 28278 ti = "17/122359/28278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122359/28278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122359 ÷ 217
    122359 ÷ 131072     		x = 0.933525085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28278 ÷ 217
    28278 ÷ 131072     		y = 0.215744018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933525085449219 × 2 - 1) × π
    0.867050170898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.72391845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215744018554688 × 2 - 1) × π
    0.568511962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78603300604405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72391845} λ = 2.72391845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78603300604405))-π/2
    2×atan(5.96573941052194)-π/2
    2×1.40471651459822-π/2
    2.80943302919645-1.57079632675     		φ = 1.23863670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72391845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.069031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23863670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.968655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122359 KachelY 28278 2.72391845 1.23863670 156.069031 70.968655
    Oben rechts KachelX + 1 122360 KachelY 28278 2.72396638 1.23863670 156.071777 70.968655
    Unten links KachelX 122359 KachelY + 1 28279 2.72391845 1.23862107 156.069031 70.967760
    Unten rechts KachelX + 1 122360 KachelY + 1 28279 2.72396638 1.23862107 156.071777 70.967760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23863670-1.23862107) × R
    1.56300000000442e-05 × 6371000     		dl = 99.5787300002817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23863670-1.23862107) × R
    1.56300000000442e-05 × 6371000     		dr = 99.5787300002817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72391845-2.72396638) × cos(1.23863670) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.326085369534808 × 6371000     		do = 99.5740903935875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72391845-2.72396638) × cos(1.23862107) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.32610014516427 × 6371000     		du = 99.5786023097946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23863670)-sin(1.23862107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326085369534808-0.32610014516427)×R²
    abs(2.72396638-2.72391845)×1.4775629462449e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.4775629462449e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.4775629462449e-05×40589641000000     		ar = 9915.68610786195m²