Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12235 / 20320
↖ ↑ ↗
← S 39.639537°
W 45.582276°		 ← 940.75 m → S 39.639537°
W 45.571289°		 →
↑
940.74 m
↓
↑
940.74 m
↓
S 39.647998°
W 45.582276°		 ← 940.64 m →
884 950 m²		 S 39.647998°
W 45.571289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373397827148438 y=0.620132446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373397827148438 × 215)
    floor (0.373397827148438 × 32768)
    floor (12235.5)     		tx = 12235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620132446289062 × 215)
    floor (0.620132446289062 × 32768)
    floor (20320.5)     		ty = 20320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12235 / 20320 ti = "15/12235/20320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12235/20320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12235 ÷ 215
    12235 ÷ 32768     		x = 0.373382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20320 ÷ 215
    20320 ÷ 32768     		y = 0.6201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.25323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79556079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6201171875 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.754718547618164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79556079} λ = -0.79556079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754718547618164))-π/2
    2×atan(0.470142918955338)-π/2
    2×0.439477941172668-π/2
    0.878955882345336-1.57079632675     		φ = -0.69184044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79556079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.582276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69184044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.639537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12235 KachelY 20320 -0.79556079 -0.69184044 -45.582276 -39.639537
    Oben rechts KachelX + 1 12236 KachelY 20320 -0.79536904 -0.69184044 -45.571289 -39.639537
    Unten links KachelX 12235 KachelY + 1 20321 -0.79556079 -0.69198810 -45.582276 -39.647998
    Unten rechts KachelX + 1 12236 KachelY + 1 20321 -0.79536904 -0.69198810 -45.571289 -39.647998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69184044--0.69198810) × R
    0.000147659999999994 × 6371000     		dl = 940.741859999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69184044--0.69198810) × R
    0.000147659999999994 × 6371000     		dr = 940.741859999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79556079--0.79536904) × cos(-0.69184044) × R
    0.000191750000000046 × 0.770073200977456 × 6371000     		do = 940.751647687425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79556079--0.79536904) × cos(-0.69198810) × R
    0.000191750000000046 × 0.769978992068307 × 6371000     		du = 940.636558386308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69184044)-sin(-0.69198810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770073200977456-0.769978992068307)×R²
    abs(-0.79536904--0.79556079)×9.42089091496845e-05×R²
    0.000191750000000046×9.42089091496845e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.42089091496845e-05×40589641000000     		ar = 884950.321789831m²