Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12235 / 12633
↖ ↑ ↗
← S 69.357087°
E 88.835449°		 ← 861.36 m → S 69.357087°
E 88.857422°		 →
↑
861.17 m
↓
↑
861.17 m
↓
S 69.364831°
E 88.835449°		 ← 861.05 m →
741 643 m²		 S 69.364831°
E 88.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746795654296875 y=0.771087646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746795654296875 × 214)
    floor (0.746795654296875 × 16384)
    floor (12235.5)     		tx = 12235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771087646484375 × 214)
    floor (0.771087646484375 × 16384)
    floor (12633.5)     		ty = 12633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12235 / 12633 ti = "14/12235/12633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12235/12633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12235 ÷ 214
    12235 ÷ 16384     		x = 0.74676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12633 ÷ 214
    12633 ÷ 16384     		y = 0.77105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74676513671875 × 2 - 1) × π
    0.4935302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55047108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77105712890625 × 2 - 1) × π
    -0.5421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70310216970136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55047108} λ = 1.55047108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70310216970136))-π/2
    2×atan(0.182117686874732)-π/2
    2×0.180143405397334-π/2
    0.360286810794669-1.57079632675     		φ = -1.21050952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55047108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21050952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.357087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12235 KachelY 12633 1.55047108 -1.21050952 88.835449 -69.357087
    Oben rechts KachelX + 1 12236 KachelY 12633 1.55085458 -1.21050952 88.857422 -69.357087
    Unten links KachelX 12235 KachelY + 1 12634 1.55047108 -1.21064469 88.835449 -69.364831
    Unten rechts KachelX + 1 12236 KachelY + 1 12634 1.55085458 -1.21064469 88.857422 -69.364831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21050952--1.21064469) × R
    0.000135170000000073 × 6371000     		dl = 861.168070000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21050952--1.21064469) × R
    0.000135170000000073 × 6371000     		dr = 861.168070000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55047108-1.55085458) × cos(-1.21050952) × R
    0.000383500000000092 × 0.352542640351052 × 6371000     		do = 861.359853503164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55047108-1.55085458) × cos(-1.21064469) × R
    0.000383500000000092 × 0.352416145619195 × 6371000     		du = 861.050791644456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21050952)-sin(-1.21064469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352542640351052-0.352416145619195)×R²
    abs(1.55085458-1.55047108)×0.000126494731856552×R²
    0.000383500000000092×0.000126494731856552×6371000²
    0.000383500000000092×0.000126494731856552×40589641000000     		ar = 741642.526644238m²