Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12232 / 12624
↖ ↑ ↗
← S 69.287257°
E 88.769531°		 ← 864.12 m → S 69.287257°
E 88.791504°		 →
↑
863.97 m
↓
↑
863.97 m
↓
S 69.295027°
E 88.769531°		 ← 863.81 m →
746 444 m²		 S 69.295027°
E 88.791504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746612548828125 y=0.770538330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746612548828125 × 214)
    floor (0.746612548828125 × 16384)
    floor (12232.5)     		tx = 12232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770538330078125 × 214)
    floor (0.770538330078125 × 16384)
    floor (12624.5)     		ty = 12624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12232 / 12624 ti = "14/12232/12624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12232/12624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12232 ÷ 214
    12232 ÷ 16384     		x = 0.74658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12624 ÷ 214
    12624 ÷ 16384     		y = 0.7705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74658203125 × 2 - 1) × π
    0.4931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54932060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7705078125 × 2 - 1) × π
    -0.541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69965071292871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54932060} λ = 1.54932060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69965071292871))-π/2
    2×atan(0.18274734419095)-π/2
    2×0.180752781664976-π/2
    0.361505563329953-1.57079632675     		φ = -1.20929076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54932060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20929076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.287257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12232 KachelY 12624 1.54932060 -1.20929076 88.769531 -69.287257
    Oben rechts KachelX + 1 12233 KachelY 12624 1.54970409 -1.20929076 88.791504 -69.287257
    Unten links KachelX 12232 KachelY + 1 12625 1.54932060 -1.20942637 88.769531 -69.295027
    Unten rechts KachelX + 1 12233 KachelY + 1 12625 1.54970409 -1.20942637 88.791504 -69.295027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20929076--1.20942637) × R
    0.000135610000000064 × 6371000     		dl = 863.971310000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20929076--1.20942637) × R
    0.000135610000000064 × 6371000     		dr = 863.971310000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54932060-1.54970409) × cos(-1.20929076) × R
    0.000383490000000153 × 0.353682888668491 × 6371000     		do = 864.123264565125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54932060-1.54970409) × cos(-1.20942637) × R
    0.000383490000000153 × 0.353556040516109 × 6371000     		du = 863.813347283142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20929076)-sin(-1.20942637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353682888668491-0.353556040516109)×R²
    abs(1.54970409-1.54932060)×0.000126848152381454×R²
    0.000383490000000153×0.000126848152381454×6371000²
    0.000383490000000153×0.000126848152381454×40589641000000     		ar = 746443.830213291m²