Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12231 / 12777
↖ ↑ ↗
← S 70.444155°
E 88.747559°		 ← 817.83 m → S 70.444155°
E 88.769531°		 →
↑
817.72 m
↓
↑
817.72 m
↓
S 70.451509°
E 88.747559°		 ← 817.53 m →
668 631 m²		 S 70.451509°
E 88.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746551513671875 y=0.779876708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746551513671875 × 214)
    floor (0.746551513671875 × 16384)
    floor (12231.5)     		tx = 12231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779876708984375 × 214)
    floor (0.779876708984375 × 16384)
    floor (12777.5)     		ty = 12777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12231 / 12777 ti = "14/12231/12777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12231/12777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12231 ÷ 214
    12231 ÷ 16384     		x = 0.74652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12777 ÷ 214
    12777 ÷ 16384     		y = 0.77984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74652099609375 × 2 - 1) × π
    0.4930419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54893710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.5596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75832547806366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54893710} λ = 1.54893710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75832547806366))-π/2
    2×atan(0.172333198065189)-π/2
    2×0.170656942027573-π/2
    0.341313884055147-1.57079632675     		φ = -1.22948244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54893710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.747559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22948244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.444155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12231 KachelY 12777 1.54893710 -1.22948244 88.747559 -70.444155
    Oben rechts KachelX + 1 12232 KachelY 12777 1.54932060 -1.22948244 88.769531 -70.444155
    Unten links KachelX 12231 KachelY + 1 12778 1.54893710 -1.22961079 88.747559 -70.451509
    Unten rechts KachelX + 1 12232 KachelY + 1 12778 1.54932060 -1.22961079 88.769531 -70.451509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22948244--1.22961079) × R
    0.000128349999999999 × 6371000     		dl = 817.717849999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22948244--1.22961079) × R
    0.000128349999999999 × 6371000     		dr = 817.717849999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54893710-1.54932060) × cos(-1.22948244) × R
    0.00038349999999987 × 0.334725476841199 × 6371000     		do = 817.827560968073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54893710-1.54932060) × cos(-1.22961079) × R
    0.00038349999999987 × 0.334604527865937 × 6371000     		du = 817.532048937217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22948244)-sin(-1.22961079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334725476841199-0.334604527865937)×R²
    abs(1.54932060-1.54893710)×0.000120948975262547×R²
    0.00038349999999987×0.000120948975262547×6371000²
    0.00038349999999987×0.000120948975262547×40589641000000     		ar = 668631.37301256m²