Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12230 / 12785
↖ ↑ ↗
← S 70.502908°
E 88.725586°		 ← 815.44 m → S 70.502908°
E 88.747559°		 →
↑
815.36 m
↓
↑
815.36 m
↓
S 70.510241°
E 88.725586°		 ← 815.15 m →
664 762 m²		 S 70.510241°
E 88.747559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746490478515625 y=0.780364990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746490478515625 × 214)
    floor (0.746490478515625 × 16384)
    floor (12230.5)     		tx = 12230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780364990234375 × 214)
    floor (0.780364990234375 × 16384)
    floor (12785.5)     		ty = 12785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12230 / 12785 ti = "14/12230/12785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12230/12785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12230 ÷ 214
    12230 ÷ 16384     		x = 0.7464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12785 ÷ 214
    12785 ÷ 16384     		y = 0.78033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7464599609375 × 2 - 1) × π
    0.492919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54855361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.5606689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76139343963934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54855361} λ = 1.54855361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76139343963934))-π/2
    2×atan(0.171805296640022)-π/2
    2×0.170144221163029-π/2
    0.340288442326057-1.57079632675     		φ = -1.23050788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54855361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.725586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23050788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.502908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12230 KachelY 12785 1.54855361 -1.23050788 88.725586 -70.502908
    Oben rechts KachelX + 1 12231 KachelY 12785 1.54893710 -1.23050788 88.747559 -70.502908
    Unten links KachelX 12230 KachelY + 1 12786 1.54855361 -1.23063586 88.725586 -70.510241
    Unten rechts KachelX + 1 12231 KachelY + 1 12786 1.54893710 -1.23063586 88.747559 -70.510241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23050788--1.23063586) × R
    0.000127980000000028 × 6371000     		dl = 815.360580000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23050788--1.23063586) × R
    0.000127980000000028 × 6371000     		dr = 815.360580000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54855361-1.54893710) × cos(-1.23050788) × R
    0.000383490000000153 × 0.333759012825367 × 6371000     		do = 815.444956431061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54855361-1.54893710) × cos(-1.23063586) × R
    0.000383490000000153 × 0.333638368666138 × 6371000     		du = 815.150196836906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23050788)-sin(-1.23063586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333759012825367-0.333638368666138)×R²
    abs(1.54893710-1.54855361)×0.000120644159229022×R²
    0.000383490000000153×0.000120644159229022×6371000²
    0.000383490000000153×0.000120644159229022×40589641000000     		ar = 664761.50586423m²