Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1223 / 2238
↖ ↑ ↗
← N 62.955223°
W126.254883°		 ← 2 221.82 m → N 62.955223°
W126.210937°		 →
↑
2 222.59 m
↓
↑
2 222.59 m
↓
N 62.935235°
W126.254883°		 ← 2 223.34 m →
4 939 883 m²		 N 62.935235°
W126.210937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14935302734375 y=0.27325439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14935302734375 × 213)
    floor (0.14935302734375 × 8192)
    floor (1223.5)     		tx = 1223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27325439453125 × 213)
    floor (0.27325439453125 × 8192)
    floor (2238.5)     		ty = 2238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1223 / 2238 ti = "13/1223/2238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1223/2238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1223 ÷ 213
    1223 ÷ 8192     		x = 0.1492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2238 ÷ 213
    2238 ÷ 8192     		y = 0.273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.701416015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.20356340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273193359375 × 2 - 1) × π
    0.45361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42506815190503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20356340} λ = -2.20356340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42506815190503))-π/2
    2×atan(4.15814121834502)-π/2
    2×1.33478612512091-π/2
    2.66957225024181-1.57079632675     		φ = 1.09877592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20356340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.254883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09877592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.955223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1223 KachelY 2238 -2.20356340 1.09877592 -126.254883 62.955223
    Oben rechts KachelX + 1 1224 KachelY 2238 -2.20279641 1.09877592 -126.210937 62.955223
    Unten links KachelX 1223 KachelY + 1 2239 -2.20356340 1.09842706 -126.254883 62.935235
    Unten rechts KachelX + 1 1224 KachelY + 1 2239 -2.20279641 1.09842706 -126.210937 62.935235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09877592-1.09842706) × R
    0.000348860000000117 × 6371000     		dl = 2222.58706000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09877592-1.09842706) × R
    0.000348860000000117 × 6371000     		dr = 2222.58706000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20356340--2.20279641) × cos(1.09877592) × R
    0.000766990000000245 × 0.454686690430664 × 6371000     		do = 2221.82346184245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20356340--2.20279641) × cos(1.09842706) × R
    0.000766990000000245 × 0.454997375422371 × 6371000     		du = 2223.34162196974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09877592)-sin(1.09842706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454686690430664-0.454997375422371)×R²
    abs(-2.20279641--2.20356340)×0.000310684991707444×R²
    0.000766990000000245×0.000310684991707444×6371000²
    0.000766990000000245×0.000310684991707444×40589641000000     		ar = 4939883.24752393m²