Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122287 / 28080
↖ ↑ ↗
← N 71.145194°
E155.871277°		 ← 98.70 m → N 71.145194°
E155.874024°		 →
↑
98.69 m
↓
↑
98.69 m
↓
N 71.144307°
E155.871277°		 ← 98.71 m →
9 741 m²		 N 71.144307°
E155.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932979583740234 y=0.214237213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932979583740234 × 217)
    floor (0.932979583740234 × 131072)
    floor (122287.5)     		tx = 122287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214237213134766 × 217)
    floor (0.214237213134766 × 131072)
    floor (28080.5)     		ty = 28080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122287 / 28080 ti = "17/122287/28080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122287/28080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122287 ÷ 217
    122287 ÷ 131072     		x = 0.932975769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28080 ÷ 217
    28080 ÷ 131072     		y = 0.2142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932975769042969 × 2 - 1) × π
    0.865951538085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.72046699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2142333984375 × 2 - 1) × π
    0.571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79552451216882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72046699} λ = 2.72046699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79552451216882))-π/2
    2×atan(6.02263283771147)-π/2
    2×1.40625711078198-π/2
    2.81251422156396-1.57079632675     		φ = 1.24171789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72046699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.871277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24171789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.145194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122287 KachelY 28080 2.72046699 1.24171789 155.871277 71.145194
    Oben rechts KachelX + 1 122288 KachelY 28080 2.72051493 1.24171789 155.874024 71.145194
    Unten links KachelX 122287 KachelY + 1 28081 2.72046699 1.24170240 155.871277 71.144307
    Unten rechts KachelX + 1 122288 KachelY + 1 28081 2.72051493 1.24170240 155.874024 71.144307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24171789-1.24170240) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dl = 98.6867900000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24171789-1.24170240) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dr = 98.6867900000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72046699-2.72051493) × cos(1.24171789) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.32317105310259 × 6371000     		do = 98.7047580412876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72046699-2.72051493) × cos(1.24170240) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.323185711879216 × 6371000     		du = 98.7092352089859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24171789)-sin(1.24170240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32317105310259-0.323185711879216)×R²
    abs(2.72051493-2.72046699)×1.46587766252093e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.46587766252093e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.46587766252093e-05×40589641000000     		ar = 9741.0766477115m²