Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122286 / 28079
↖ ↑ ↗
← N 71.146083°
E155.868530°		 ← 98.70 m → N 71.146083°
E155.871277°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
N 71.145194°
E155.868530°		 ← 98.70 m →
9 747 m²		 N 71.145194°
E155.871277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932971954345703 y=0.214229583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932971954345703 × 217)
    floor (0.932971954345703 × 131072)
    floor (122286.5)     		tx = 122286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214229583740234 × 217)
    floor (0.214229583740234 × 131072)
    floor (28079.5)     		ty = 28079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122286 / 28079 ti = "17/122286/28079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122286/28079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122286 ÷ 217
    122286 ÷ 131072     		x = 0.932968139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28079 ÷ 217
    28079 ÷ 131072     		y = 0.214225769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932968139648438 × 2 - 1) × π
    0.865936279296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72041905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214225769042969 × 2 - 1) × π
    0.571548461914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.79557244906844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72041905} λ = 2.72041905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79557244906844))-π/2
    2×atan(6.02292155097721)-π/2
    2×1.40626485651534-π/2
    2.81252971303069-1.57079632675     		φ = 1.24173339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72041905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.868530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24173339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.146083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122286 KachelY 28079 2.72041905 1.24173339 155.868530 71.146083
    Oben rechts KachelX + 1 122287 KachelY 28079 2.72046699 1.24173339 155.871277 71.146083
    Unten links KachelX 122286 KachelY + 1 28080 2.72041905 1.24171789 155.868530 71.145194
    Unten rechts KachelX + 1 122287 KachelY + 1 28080 2.72046699 1.24171789 155.871277 71.145194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24173339-1.24171789) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dl = 98.7504999996567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24173339-1.24171789) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dr = 98.7504999996567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72041905-2.72046699) × cos(1.24173339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323156384784968 × 6371000     		do = 98.7002779586088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72041905-2.72046699) × cos(1.24171789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32317105310259 × 6371000     		du = 98.7047580403732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24173339)-sin(1.24171789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323156384784968-0.32317105310259)×R²
    abs(2.72046699-2.72041905)×1.46683176225904e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46683176225904e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46683176225904e-05×40589641000000     		ar = 9746.923003782m²