Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122285 / 28083
↖ ↑ ↗
← N 71.142532°
E155.865784°		 ← 98.70 m → N 71.142532°
E155.868530°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
N 71.141644°
E155.865784°		 ← 98.70 m →
9 747 m²		 N 71.141644°
E155.868530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932964324951172 y=0.214260101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932964324951172 × 217)
    floor (0.932964324951172 × 131072)
    floor (122285.5)     		tx = 122285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214260101318359 × 217)
    floor (0.214260101318359 × 131072)
    floor (28083.5)     		ty = 28083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122285 / 28083 ti = "17/122285/28083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122285/28083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122285 ÷ 217
    122285 ÷ 131072     		x = 0.932960510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28083 ÷ 217
    28083 ÷ 131072     		y = 0.214256286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932960510253906 × 2 - 1) × π
    0.865921020507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.72037112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214256286621094 × 2 - 1) × π
    0.571487426757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.79538070146996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72037112} λ = 2.72037112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79538070146996))-π/2
    2×atan(6.02176678094971)-π/2
    2×1.40623387147348-π/2
    2.81246774294697-1.57079632675     		φ = 1.24167142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72037112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.865784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24167142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.142532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122285 KachelY 28083 2.72037112 1.24167142 155.865784 71.142532
    Oben rechts KachelX + 1 122286 KachelY 28083 2.72041905 1.24167142 155.868530 71.142532
    Unten links KachelX 122285 KachelY + 1 28084 2.72037112 1.24165592 155.865784 71.141644
    Unten rechts KachelX + 1 122286 KachelY + 1 28084 2.72041905 1.24165592 155.868530 71.141644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24167142-1.24165592) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dl = 98.7505000010713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24167142-1.24165592) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dr = 98.7505000010713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72037112-2.72041905) × cos(1.24167142) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323215029199827 × 6371000     		do = 98.6975974430288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72037112-2.72041905) × cos(1.24165592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323229697207011 × 6371000     		du = 98.7020764954788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24167142)-sin(1.24165592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323215029199827-0.323229697207011)×R²
    abs(2.72041905-2.72037112)×1.46680071845817e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46680071845817e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46680071845817e-05×40589641000000     		ar = 9746.65825086932m²