Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122272 / 27037
↖ ↑ ↗
← N 72.049380°
E155.830078°		 ← 94.11 m → N 72.049380°
E155.832824°		 →
↑
94.16 m
↓
↑
94.16 m
↓
N 72.048533°
E155.830078°		 ← 94.12 m →
8 862 m²		 N 72.048533°
E155.832824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932865142822266 y=0.206279754638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932865142822266 × 217)
    floor (0.932865142822266 × 131072)
    floor (122272.5)     		tx = 122272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206279754638672 × 217)
    floor (0.206279754638672 × 131072)
    floor (27037.5)     		ty = 27037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122272 / 27037 ti = "17/122272/27037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122272/27037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122272 ÷ 217
    122272 ÷ 131072     		x = 0.932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27037 ÷ 217
    27037 ÷ 131072     		y = 0.206275939941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932861328125 × 2 - 1) × π
    0.86572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71974794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206275939941406 × 2 - 1) × π
    0.587448120117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.84552269847254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71974794} λ = 2.71974794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84552269847254))-π/2
    2×atan(6.331408343109)-π/2
    2×1.41414761183646-π/2
    2.82829522367291-1.57079632675     		φ = 1.25749890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71974794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.830078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25749890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.049380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122272 KachelY 27037 2.71974794 1.25749890 155.830078 72.049380
    Oben rechts KachelX + 1 122273 KachelY 27037 2.71979587 1.25749890 155.832824 72.049380
    Unten links KachelX 122272 KachelY + 1 27038 2.71974794 1.25748412 155.830078 72.048533
    Unten rechts KachelX + 1 122273 KachelY + 1 27038 2.71979587 1.25748412 155.832824 72.048533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25749890-1.25748412) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dl = 94.1633800006565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25749890-1.25748412) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dr = 94.1633800006565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71974794-2.71979587) × cos(1.25749890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.308197222530444 × 6371000     		do = 94.1117295123158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71974794-2.71979587) × cos(1.25748412) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.308211283043122 × 6371000     		du = 94.1160230590098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25749890)-sin(1.25748412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308197222530444-0.308211283043122)×R²
    abs(2.71979587-2.71974794)×1.4060512677383e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4060512677383e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4060512677383e-05×40589641000000     		ar = 8862.08069625906m²