Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122270 / 28086
↖ ↑ ↗
← N 71.139868°
E155.824585°		 ← 98.73 m → N 71.139868°
E155.827332°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
N 71.138980°
E155.824585°		 ← 98.74 m →
9 750 m²		 N 71.138980°
E155.827332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932849884033203 y=0.214282989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932849884033203 × 217)
    floor (0.932849884033203 × 131072)
    floor (122270.5)     		tx = 122270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214282989501953 × 217)
    floor (0.214282989501953 × 131072)
    floor (28086.5)     		ty = 28086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122270 / 28086 ti = "17/122270/28086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122270/28086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122270 ÷ 217
    122270 ÷ 131072     		x = 0.932846069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28086 ÷ 217
    28086 ÷ 131072     		y = 0.214279174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932846069335938 × 2 - 1) × π
    0.865692138671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71965206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214279174804688 × 2 - 1) × π
    0.571441650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7952368907711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71965206} λ = 2.71965206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7952368907711))-π/2
    2×atan(6.02090084872722)-π/2
    2×1.4062106290021-π/2
    2.81242125800419-1.57079632675     		φ = 1.24162493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71965206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.824585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24162493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.139868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122270 KachelY 28086 2.71965206 1.24162493 155.824585 71.139868
    Oben rechts KachelX + 1 122271 KachelY 28086 2.71970000 1.24162493 155.827332 71.139868
    Unten links KachelX 122270 KachelY + 1 28087 2.71965206 1.24160943 155.824585 71.138980
    Unten rechts KachelX + 1 122271 KachelY + 1 28087 2.71970000 1.24160943 155.827332 71.138980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24162493-1.24160943) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dl = 98.7504999996567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24162493-1.24160943) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dr = 98.7504999996567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71965206-2.71970000) × cos(1.24162493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323259023525304 × 6371000     		do = 98.7316264718286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71965206-2.71970000) × cos(1.24160943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32327369129956 × 6371000     		du = 98.7361063876349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24162493)-sin(1.24160943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323259023525304-0.32327369129956)×R²
    abs(2.71970000-2.71965206)×1.46677742561274e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46677742561274e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46677742561274e-05×40589641000000     		ar = 9750.01867701928m²