Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12227 / 12793
↖ ↑ ↗
← S 70.561492°
E 88.659668°		 ← 813.09 m → S 70.561492°
E 88.681640°		 →
↑
813 m
↓
↑
813 m
↓
S 70.568803°
E 88.659668°		 ← 812.80 m →
660 925 m²		 S 70.568803°
E 88.681640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746307373046875 y=0.780853271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746307373046875 × 214)
    floor (0.746307373046875 × 16384)
    floor (12227.5)     		tx = 12227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780853271484375 × 214)
    floor (0.780853271484375 × 16384)
    floor (12793.5)     		ty = 12793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12227 / 12793 ti = "14/12227/12793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12227/12793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12227 ÷ 214
    12227 ÷ 16384     		x = 0.74627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12793 ÷ 214
    12793 ÷ 16384     		y = 0.78082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74627685546875 × 2 - 1) × π
    0.4925537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54740312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.5616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76446140121503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54740312} λ = 1.54740312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76446140121503))-π/2
    2×atan(0.171279012314276)-π/2
    2×0.169632980965166-π/2
    0.339265961930331-1.57079632675     		φ = -1.23153036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54740312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.659668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23153036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.561492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12227 KachelY 12793 1.54740312 -1.23153036 88.659668 -70.561492
    Oben rechts KachelX + 1 12228 KachelY 12793 1.54778661 -1.23153036 88.681640 -70.561492
    Unten links KachelX 12227 KachelY + 1 12794 1.54740312 -1.23165797 88.659668 -70.568803
    Unten rechts KachelX + 1 12228 KachelY + 1 12794 1.54778661 -1.23165797 88.681640 -70.568803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23153036--1.23165797) × R
    0.000127610000000056 × 6371000     		dl = 813.003310000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23153036--1.23165797) × R
    0.000127610000000056 × 6371000     		dr = 813.003310000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54740312-1.54778661) × cos(-1.23153036) × R
    0.000383489999999931 × 0.332794989131984 × 6371000     		do = 813.089639485005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54740312-1.54778661) × cos(-1.23165797) × R
    0.000383489999999931 × 0.332674650294458 × 6371000     		du = 812.795625857352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23153036)-sin(-1.23165797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332794989131984-0.332674650294458)×R²
    abs(1.54778661-1.54740312)×0.00012033883752538×R²
    0.000383489999999931×0.00012033883752538×6371000²
    0.000383489999999931×0.00012033883752538×40589641000000     		ar = 660925.052098693m²