Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12227 / 12699
↖ ↑ ↗
← S 69.862328°
E 88.659668°		 ← 841.14 m → S 69.862328°
E 88.681640°		 →
↑
841.04 m
↓
↑
841.04 m
↓
S 69.869892°
E 88.659668°		 ← 840.84 m →
707 304 m²		 S 69.869892°
E 88.681640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746307373046875 y=0.775115966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746307373046875 × 214)
    floor (0.746307373046875 × 16384)
    floor (12227.5)     		tx = 12227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775115966796875 × 214)
    floor (0.775115966796875 × 16384)
    floor (12699.5)     		ty = 12699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12227 / 12699 ti = "14/12227/12699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12227/12699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12227 ÷ 214
    12227 ÷ 16384     		x = 0.74627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12699 ÷ 214
    12699 ÷ 16384     		y = 0.77508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74627685546875 × 2 - 1) × π
    0.4925537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54740312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.5501708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72841285270074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54740312} λ = 1.54740312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72841285270074))-π/2
    2×atan(0.177566009853496)-π/2
    2×0.175734337902963-π/2
    0.351468675805925-1.57079632675     		φ = -1.21932765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54740312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.659668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21932765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.862328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12227 KachelY 12699 1.54740312 -1.21932765 88.659668 -69.862328
    Oben rechts KachelX + 1 12228 KachelY 12699 1.54778661 -1.21932765 88.681640 -69.862328
    Unten links KachelX 12227 KachelY + 1 12700 1.54740312 -1.21945966 88.659668 -69.869892
    Unten rechts KachelX + 1 12228 KachelY + 1 12700 1.54778661 -1.21945966 88.681640 -69.869892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21932765--1.21945966) × R
    0.00013200999999996 × 6371000     		dl = 841.035709999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21932765--1.21945966) × R
    0.00013200999999996 × 6371000     		dr = 841.035709999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54740312-1.54778661) × cos(-1.21932765) × R
    0.000383489999999931 × 0.344277072047393 × 6371000     		do = 841.142834283934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54740312-1.54778661) × cos(-1.21945966) × R
    0.000383489999999931 × 0.344153129070886 × 6371000     		du = 840.840014970617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21932765)-sin(-1.21945966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344277072047393-0.344153129070886)×R²
    abs(1.54778661-1.54740312)×0.000123942976506364×R²
    0.000383489999999931×0.000123942976506364×6371000²
    0.000383489999999931×0.000123942976506364×40589641000000     		ar = 707303.820943695m²