Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122269 / 28085
↖ ↑ ↗
← N 71.140756°
E155.821839°		 ← 98.71 m → N 71.140756°
E155.824585°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
N 71.139868°
E155.821839°		 ← 98.71 m →
9 748 m²		 N 71.139868°
E155.824585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932842254638672 y=0.214275360107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932842254638672 × 217)
    floor (0.932842254638672 × 131072)
    floor (122269.5)     		tx = 122269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214275360107422 × 217)
    floor (0.214275360107422 × 131072)
    floor (28085.5)     		ty = 28085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122269 / 28085 ti = "17/122269/28085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122269/28085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122269 ÷ 217
    122269 ÷ 131072     		x = 0.932838439941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28085 ÷ 217
    28085 ÷ 131072     		y = 0.214271545410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932838439941406 × 2 - 1) × π
    0.865676879882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.71960413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214271545410156 × 2 - 1) × π
    0.571456909179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.79528482767072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71960413} λ = 2.71960413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79528482767072))-π/2
    2×atan(6.02118947896479)-π/2
    2×1.40621837684402-π/2
    2.81243675368803-1.57079632675     		φ = 1.24164043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71960413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.821839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24164043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.140756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122269 KachelY 28085 2.71960413 1.24164043 155.821839 71.140756
    Oben rechts KachelX + 1 122270 KachelY 28085 2.71965206 1.24164043 155.824585 71.140756
    Unten links KachelX 122269 KachelY + 1 28086 2.71960413 1.24162493 155.821839 71.139868
    Unten rechts KachelX + 1 122270 KachelY + 1 28086 2.71965206 1.24162493 155.824585 71.139868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24164043-1.24162493) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dl = 98.7504999996567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24164043-1.24162493) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dr = 98.7504999996567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71960413-2.71965206) × cos(1.24164043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323244355673385 × 6371000     		do = 98.7065526345272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71960413-2.71965206) × cos(1.24162493) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323259023525304 × 6371000     		du = 98.7110316395649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24164043)-sin(1.24162493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323244355673385-0.323259023525304)×R²
    abs(2.71965206-2.71960413)×1.46678519190591e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46678519190591e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46678519190591e-05×40589641000000     		ar = 9747.54257801119m²