Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122235 / 115919
↖ ↑ ↗
← S 79.788471°
E155.728455°		 ← 54.15 m → S 79.788471°
E155.731201°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
S 79.788958°
E155.728455°		 ← 54.14 m →
2 932 m²		 S 79.788958°
E155.731201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932582855224609 y=0.884395599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932582855224609 × 217)
    floor (0.932582855224609 × 131072)
    floor (122235.5)     		tx = 122235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884395599365234 × 217)
    floor (0.884395599365234 × 131072)
    floor (115919.5)     		ty = 115919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122235 / 115919 ti = "17/122235/115919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122235/115919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122235 ÷ 217
    122235 ÷ 131072     		x = 0.932579040527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115919 ÷ 217
    115919 ÷ 131072     		y = 0.884391784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932579040527344 × 2 - 1) × π
    0.865158081054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.71797427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884391784667969 × 2 - 1) × π
    -0.768783569335938 × 3.1415926535     		Φ = -2.41520481355729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71797427} λ = 2.71797427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41520481355729))-π/2
    2×atan(0.0893490371534523)-π/2
    2×0.0891124043362096-π/2
    0.178224808672419-1.57079632675     		φ = -1.39257152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71797427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.728455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39257152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.788471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122235 KachelY 115919 2.71797427 -1.39257152 155.728455 -79.788471
    Oben rechts KachelX + 1 122236 KachelY 115919 2.71802221 -1.39257152 155.731201 -79.788471
    Unten links KachelX 122235 KachelY + 1 115920 2.71797427 -1.39258002 155.728455 -79.788958
    Unten rechts KachelX + 1 122236 KachelY + 1 115920 2.71802221 -1.39258002 155.731201 -79.788958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39257152--1.39258002) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39257152--1.39258002) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71797427-2.71802221) × cos(-1.39257152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177282779615953 × 6371000     		do = 54.1467241534239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71797427-2.71802221) × cos(-1.39258002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177274414249936 × 6371000     		du = 54.1441691553176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39257152)-sin(-1.39258002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177282779615953-0.177274414249936)×R²
    abs(2.71802221-2.71797427)×8.36536601761528e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36536601761528e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36536601761528e-06×40589641000000     		ar = 2932.16544529041m²